[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
Страница 1 из 11
Модератор форума: Сергеев_ЕВ, Ishina 
Форум учителей » Форумы для учителей предметников » Форум учителей физики » Закон сохранения количества движения. (Обсуждаем понятия физики, часть 2.)
Закон сохранения количества движения.
prediger Дата: Четверг, 24.11.2016, 10:26 | Сообщение #1
фотография отсутствует
Зачастивший
Группа: Проверенные
Сообщений: 71
Статус: Отсутствует
Тема инициирована сообщением 9 (Обсуждаем понятия физики).

Термину "импульс" в разных науках придается разный смысл. Импульс в электро- и радиотехнике, световой импульс, нервный импульс и т.д. В механике вводится понятие "импульс сил". Физики импульсом называют количество движения, а закон сохранения количества движения называют законом сохранения импульса.

Рассмотрим простой пример 1, когда тело массы M движется поступательно вдоль некоторой прямой - оси x, x(t) изменяющаяся во времени координата некоторой точки тела. К телу приложена сила F(t), направленная вдоль координатной оси. Скорость v(t) тела равна производной x'(t) от координаты x(t), вторая производная x''(t) - ускорение тела. Уравнение Ньютона гласит Mx''= F. Очевидно, здесь предполагается, что и скорость тела, и его координата являются непрерывными функциями времени (и следовательно, не могут измениться скачком). Интегрируя уравнение Ньютона на интервале (t,t+h; h>0), получим M v(t+h)-Mv(t)=I (1), I - интеграл от силы F(t) по интервалу (t, t+h). Этот интеграл называют импульсом силы. Величина Mv(t) назывется количеством движения тела. Уравнение (1) означает, что изменение количества движения на некотором временном интервале равно импульсу силы, приложенной к телу, на этом интервале. Если сила равна нулю, то импульс силы равен нулю, и M v(t+h) = Mv(t), т.е., количество движения не меняется во времени. Это и есть частный случай закона сохранения количества движения.
Пример силы ограниченной длительности: F(t)=2At/T при 0<t<T/2, F(t)=2A(1-t/T) при T/2<t<T, A>0; вне интервала 0<t<T сила F(t)=0. График функции F(t) - равнобедренный треугольник, расположенный выше оси t, A - высота треугольника - максимум силы. Импульс силы на интервале 0<t<T равен  площади треугольника: I= AT/2. Если движение начинается из состояния покоя (x(0)=0, x'(0)=0), то в момент T количество движения тела равно Mv(T)=I= AT/2. При t>0 сила равна нулю, и количество движения сохраняется, тело движется с постоянной скоростью v=AT/(2M).

Рассмотрим  пример 2. Два тела массой M1 и M2, соединенные прямой упругой пружиной, могут скользить по гладкой горизонталной плоскости, пружина остается прямой, тела относительно пружины не поворачиваются.
Ниже все величины с индексами 1 и 2 относятся к массам M1 и M2, соответственно.Декартовы координаты тел в плоскости - (x1, y1) и (x2, y2); P - величина силы, действующей на тела со стороны пружины, (P*, P**) - проекции этой силы на координатные оси, P - сила внутренняя, результат взаимодействия частей системы;  к массе M1 приложена внешняя (например, электрическая) сила F(t) с координатами (F*, F**), ко второй массе приложена внешняя сила G(t)
с координатами (G*, G**). По определению импульс I (I*, I**) векторной суммы двух сил равен векторной сумме импульсов слагаемых, т.е., I* есть интеграл от F*+G* по интервалу  (t+h, t), I** - интеграл от F**+G** по тому же интервалу. Скорости, ускорения, силы и импульсы сил являются двумерными векторами.
Уравнения движения системы тел записываются в форме (внутренние упругие силы, приложенные к телам, - противоположно направлены; третий закон Ньютона):
M1x1''= -P*+F*, M2x2''= P*+G* (2) - два уравнения в проекции на ось x,
M1y1''= -P**+F**, M2y2''= P**+G** (3) - два уравнения в проекции на ось y.
По определению, вектор Q (Q*, Q**) количества движения системы равен геометрической сумме количеств движений тел: (Q*=M1x1'+ M2x2', Q**=M1y1'+ M2y2' wink .
Нас интересует изменение во времени количества движения системы двух тел. Сложим уравнения (2) и (3) и получим
M1x1''+M2x2''=F*+G* (4), M1y1''+M2y2''=F**+G** (5). Интегрируя эти уравнения по интервалу (t, t+h), находим Q*(t+h)-Q*(t)=I*, Q**(t+h)-Q**(t)=I** .
Если на систему не действуют внешние силы, то I*=0, I**=0, и, следовательно, количество движения системы не меняется во времени. Если F*+G*=0, сумма P**+G** отлична от 0, то сохраняется одна компонента Q* количества движение.Когда внешние силы отсутствуют, количество движения системы сохраняется.

Координаты центра масс системы даются формулами X=(M1x1+M2x2)/M, Y=(M1y1+M2y2)/M, где M=M1+M2 - масса системы. Уравнения движения (4), (5) переписываются в виде MX''= F*+G*, Y''=F**+G**, т.е., центр масс движется как материальная точка, масса которой равна массе системы и к которой приложена сила, равная векторной сумме всех внешних сил, приложенных к телам системы. Внутренние силы на движение центра масс не влияют.Центр масс системы, на которую не действуют внешние силы, движется равномерно, т.е., сохраняет скорость по величине и направлению.

Пример 3. Пусть x - горизонтальная ось, y - вертикальная, и рассмотренная в примере 2 система двух тел движется в вертикальной плоскости под действием веса.  Дифференциальные уравнения движения системы имеют вид (2), (3), в которых следует положить F*=G*=0, F**=-gM1 , G**=-gM2, g - ускорение свободного падения. Центр масс системы движется как материальная точка массы M=M1+M2, брошенная под острым углом к горизонту, т.е., движется по параболе с постоянной скоростью вдоль горизонта и равномерно ускоренно вдоль вертикали.

В примерах 2 и 3 все силы консервативны, так что механическая энергия системы сохраняется: сумма кинетической и потенциальной энергии системы не меняется во времени; значение механической энергии определяется начальными условиями.

Добавлено (24.11.2016, 10:26)
---------------------------------------------
Теория удара
Соударение двух твердых тел отличается от других типов движений тем, что тела соприкасаются очень короткий промежуток времени. За это время тела  значительно  изменяют свою скорость, почти не изменяя своего положения в пространстве.  За время контакта  тела  и деформируются, и нагреваются, и искры могут вылетать.  Во премя контакта каждое тело воздействует на другое силой, вызванной их деформацией; это силы внутренние, действуют непрерывно на интервале времени соприкосновения. То обстоятельство, что контакт может длиться малый промежуток времени, не отменяет законов механики, и, в частности, закон изменения количества движения механической системы и закона движения ее центра масс.
В классической теории удара  сосредотачиваются на скоростях и координатах тел до и после их  контакта,  отвлекаясь от физических явлений во время этого контакта и  его длительности. Ясно, что скорости тел до соприкосновения и после него различны. Пренебрежение временем соприкосновения тел  приводит к тому, что приходится рассматривать скорости, которые изменяются мгновенно, скачком. Но теория механического движения исходит из уравнений Ньютона, согласно которым скорости изменяются непрерывно, без скачков.Это противоречие преодолевается при помощи предельного перехода, при котором устремляется к нулю длительность контакта. При этом, чтобы не нарушать упомянутые законы, в теорию удара приходится вводить  мгновенные силы неограниченной амплитуды.
Рассмотрим задачу  о соударении двух тел  массы m и M, которые движутся  поступательно вдоль некоторой прямой.Тела соприкасаются на промежутке времени (t0, t0+T; T -длителность контакта).  Скорости тел   u1 и u2 в момент t0 считаются известными, скорости  V1 и V2 в момент t0+T следует найти (индексы 1 и 2 относятся, соответственно, к массам  m и M).
На интервале (t0, t0+T) при отсутствии внешних сил количество движения системы этих тел сохраняется: mu1+Mu2=mV1+MV2, т.е.m(V1-u1)=-(V2-u2) (*); остается постоянной также скорость центра масс V*=(mu1+Mu2)/(m+M)= (mV1+MV2)/(m+M) (эта скорость известна). Для двух неизвестных V1 и V2 имеется одно уравнение (*). Еще одно уравнение должно как-то отражать свойства материала, из которого сделаны тела. В теории принимается гипотеза Ньютона:
V2-V1=-e(u2-u1) (**); коффициент восстановления e должен определяться экспериментально; установлено, что 0<e<1. Если e=0, то  V2=V1, то есть,  в результате контакта тела "слипаются" и продолжают движение с постоянной скоростью, равной скорости центра масс, - случай абсолютно неупругих тел (например, воск).Если e=1, то V2-V1=-(u2-u1); это означает, что скорости сближения тел до соприосновения и удаления после соприосновения равны по модулю.Как будет показано, при этом нет потери кинетичесой энергии системы. Тем самым выясняется, что  e=1 соответствует  соударению абсолютно упругих тел. Все формулы справедливы при любом малом T, отличном от нуля. В пределе при T, убывающем до нуля, принимается, что уравнения (*) и (**) остаются верными. Это означает, что удар считается событием мгновенным, происходящим в момент t0. В этот момент скорости тел изменяются скачком: от u1 до V1 и от u2 до V2, скорость центра масс за время мгновенного удара не меняется.  То обстоятельство, что удар рассматривается как событие мгновенное, означает, что все силы, модуль которых ограничен во времени, не нарушают истинности уравнений (*)  и (**), поскольку их импульс при мгновенном ударе равен нулю.
Найдем формулы, связывающие скорости до и после удара.  Из (**) следует V1+eu1=V2+eu2=w, т.е.,   V1=w-eu1, V2=w-eu2. Подставим эти значения в уравнение (*) и получим  w=(1+e)V*, где  V* - известная скорость центра масс. Из трех последних равенств следуют формулы для скоростей после удара: V1= (1+e)V*-eu1, V2= (1+e)V*-eu2 (***) - справа стоят известные скорости.,
Кинетическая энергия до удара E*=0,5mu1^2+0,5Mu2^2, после удара E**=0,5mV1^2+0,5MV2^2 Изменение кинетической энергии при ударе равно E**-E*=0,5(m+M)V*^2(e^2-1), u^2 - квадрат u; при расчете используются указанные выше формулы. Кинетическая энергия при ударе убывает, если  e<1. и сохраняется при e=1, что отвечает удару абсолютно упругих тел. Пусть шар, отпущенный без скорости, падает с высоты h на горизонтальный пол, масса которого много больше массы шара. После удара пол неподвижен. Используем формулы при бесконечно большом M, V2=0, E*=gh, u1=(корень из 2gh). Согласно гипотезе (**), после удара скорость V1=-eu1=-e(корень из 2gh) (направлена вверх). В момент после удара потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия равна  0,5me^2gh. Шар поднимается на высоту h**. В силу закона сохранения энергии, E**=mgh**=0,5me^2gh. Отсюда следует экспериментальная оценка для коэффициента восстановления: e^2=h**/h.


Сообщение отредактировал prediger - Четверг, 24.11.2016, 11:07
wrobel Дата: Пятница, 25.11.2016, 11:01 | Сообщение #2
фотография отсутствует
Начинающий
Группа: Пользователи
Сообщений: 4
Статус: Отсутствует
А вот представьте себе, что на горизонтальном полу лежат два одинаковых шара единичной массы. Шары касаются друг друга. На эти шары налетает такойже третий шар, его скорость до удара направлена вдоль прямой, соединяющей центры покоящихся шаров и равна 2 в проекции на неподвижную ось, проходящую через центры шаров. Удар абсолютно упругий.

Скорости шаров после удара обозначим u,v,w (точнее говоря, это проекции скоростей на указанную ось).

Эти скорости удовлетворяют закону сохранения импульса: u+v+w=2, и закону сохранения энергии u^2+v^2+w^2=4. Уравнений -два, неизвестных- три, решений --куча. Вот такие дела wacko


Сообщение отредактировал wrobel - Пятница, 25.11.2016, 11:05
Форум учителей » Форумы для учителей предметников » Форум учителей физики » Закон сохранения количества движения. (Обсуждаем понятия физики, часть 2.)
Страница 1 из 11
Поиск:

Если Вы хотите оставить сообщение на форуме,
то рекомендуем Вам зарегистрироваться на нашем сайте или войти на портал как зарегистрированный пользователь