[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 1 из 1
  • 1
Модератор форума: KarMaN  
Форум учителей » Форумы для учителей предметников » Форум учителей математики » Вычисление длины гипотенузы (геометрия, прямоугольный треугольник, предельный переход)
Вычисление длины гипотенузы
Дата: Воскресенье, 07.02.2021, 12:54 | Сообщение #1

R0bur

фотография отсутствует
Начинающий
Группа: Пользователи
Сообщений: 18
Статус: Отсутствует
Здравствуйте!

Из школьного курса математики мне запомнилась одна задача.

Пусть требуется найти длину гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Предположим, что теорема Пифагора нам неизвестна, поэтому поступим следующим образом. Построим ломаную AB, состоящую из отрезков, пересекающих гипотенузу и параллельных сторонам AC и BC треугольника (см. рисунок). Увеличивая количество отрезков ломаной, можно сколь угодно приблизить её к гипотенузе. На этом основании будем утверждать, что длина ломаной равна длине гипотенузы.

Длина ломаной равна сумме длин составляющих её отрезков. Сумма длин отрезков, параллельных стороне AC (горизонтальных), равна длине стороны AC, а сумма длин отрезков, параллельных стороне BC (вертикальных), равна длине стороны BC. Тогда длина ломаной AB равна сумме длин сторон AB и BC.

Значит, длина гипотенузы: AB = AC + BC.

1) Верно ли решена задача? Почему?

2) Продлим вертикальные отрезки ломаной до пересечения со стороной AC. Можно ли утверждать, что при достаточно большом количестве звеньев ломаной сумма площадей прямоугольников будет примерно равна площади треугольника ABC? Почему?

Рис. Иллюстрация к задаче вычисления длины гипотенузы.
Прикрепления: 9854378.gif(7.1 Kb)
Дата: Четверг, 11.02.2021, 19:37 | Сообщение #2

Kirilych

Профиль пользователя Kirilych
Начинающий
Группа: Пользователи
Сообщений: 7
Статус: Отсутствует
1) Это классическая мат. шутка. Длина ступенчатой ломаной очевидно является инвариантом, поэтому приближения к длине гипотенузы не происходит, хотя "визуально" оно как бы есть. 

2) Очевидно да и очевидно почему. В чем вопрос-то?
Дата: Суббота, 13.02.2021, 19:46 | Сообщение #3

Сергеев_ЕВ

Профиль пользователя Сергеев_ЕВ
Модератор форума
Группа: Модераторы
Сообщений: 3154
Статус: Отсутствует
Цитата R0bur ()
Значит, длина гипотенузы: AB = AC + BC.
1) Верно ли решена задача? Почему?

Это решение линейно, одномерно. В нём катет АС - есть горизонтальная проекция гипотенузы АВ. ВС в этой одномерной системе координат не имеет значения. Поэтому насколько бы частей мы не делили гипотенузу сумма этих отрезков всегда будет равна катету (причём любому). Даже если эти отрезки выродятся в точки, они - эти точки - всё равно будут иметь длину, в сумме составляющую гипотенузу. А весь фокус в том, что треугольник - фигура двухмерная, а предлагаемое решение - одномерное.

Что же касается площади - то да, сумма площадей прямоугольников будет стремиться к реальной площади треугольника, и чем они "тоньше", тем ближе. Вообще, это - хорошая иллюстрация к основам интегрального исчисления




Окажу помощь в создании и администрировании учительских сайтов в системе uCoz
Дата: Воскресенье, 14.02.2021, 12:12 | Сообщение #4

R0bur

фотография отсутствует
Начинающий
Группа: Пользователи
Сообщений: 18
Статус: Отсутствует
Цитата Kirilych ()
В чем вопрос-то?
Так получилось, что до знакомства с этой задачей я уже знал о методе прямоугольников для численного интегрирования. И внешне подобный ему подход к вычислению длины гипотенузы, описанный в задаче, вызвал "разрыв шаблона". Признаться, я и сейчас затрудняюсь дать строгое доказательство тому, что один метод - верен, а другой - нет. Наверное, это зависит от "устройства головы" и пути, который привёл к этой задаче.
Цитата Сергеев_ЕВ ()
Поэтому насколько бы частей мы не делили гипотенузу сумма этих отрезков всегда будет равна катету
Но, если не знать теорему Пифагора, то можно предположить, что так и должно быть. Ведь "очевидно", что ломаную можно сколь угодно приблизить к гипотенузе, а дальше - формально применяем строгий математический подход и приходим к указанному в задаче выводу.

P. S. Естественно, я не настаиваю на ошибочности теоремы Пифагора  smile .
Дата: Понедельник, 15.02.2021, 14:54 | Сообщение #5

Kirilych

Профиль пользователя Kirilych
Начинающий
Группа: Пользователи
Сообщений: 7
Статус: Отсутствует
Цитата R0bur ()
Ведь "очевидно", что ломаную можно сколь угодно приблизить к гипотенузе

"Очевидно" в кавычках - да, в этом и шутка. Но "приблизить" - нет, и в этом ее разгадка. Для этого достаточно рассмотреть любые два случая - скажем, 3 ступеньки и 4 ступеньки. Мы видим, что с увеличением числа ступенек длина пути остается постоянной, не уменьшается. А значит ни к чему и не "приближается".
Второе - направление движения. Увеличивая число ступенек мы не меняем направления движения, они остаются только вверх и вправо, а на нужно другое движение - "вправо-вверх". Как бы визуально не слились наши ступеньки с гипотенузой, мы понимаем, что, "посмотрев в микроскоп", увидим ровно то же самое, что в начале, картинка просто масштабируется, но не меняется по сути.

Другое дело площади под ступеньками - перейдя от трех ступенек к четырем, мы видим, что площадь уменьшилась. Значит приближение происходит.

Это классическая задача-шутка, служащая одним из примеров для детей, что любую идею или инструмент надо применять с умом, сперва осмыслив происходящее в задаче.
Дата: Понедельник, 15.02.2021, 16:51 | Сообщение #6

R0bur

фотография отсутствует
Начинающий
Группа: Пользователи
Сообщений: 18
Статус: Отсутствует
Цитата Kirilych ()
"посмотрев в микроскоп", увидим ровно то же самое, что в начале, картинка просто масштабируется, но не меняется по сути

Да, нам никак не удаётся избавиться от того прямоугольного треугольника, который был в самом начале. Исходная гипотенуза по-прежнему состоит из множества гипотенуз "элементарных" маленьких треугольников, и вопрос о нахождении их длины остаётся открытым.
Форум учителей » Форумы для учителей предметников » Форум учителей математики » Вычисление длины гипотенузы (геометрия, прямоугольный треугольник, предельный переход)
  • Страница 1 из 1
  • 1
Поиск:
Если Вы хотите оставить сообщение на форуме, то рекомендуем Вам зарегистрироваться на нашем сайте или войти на портал как зарегистрированный пользователь
Маркер СМИ

© 2007 - 2021 Сообщество учителей-предметников "Учительский портал"
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель: Никитенко Евгений Игоревич


Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте (презентации, конспекты, статьи и пр.), пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.

Администрация сайта готова оказать поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.