|
Ассоциативность операции умножения
|
|
|
|
Дата: Пятница, 06.09.2019, 22:28 | Сообщение #81
|
|
Ротор2932
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 49
Статус: Отсутствует
|
Llirik, Начнём с того, что такое действительные числа?
Мой ответ:
Действительные числа - это то, что можно складывать с другим числом, умножать на другое число и возводить в степень с числом в показателе, причём:
1. Неважна природа этих действий, важно то, что они разные.
2. Результатом этих действий является снова число,
2. Свойства этих действий удовлетворяют системе аксиом и теорем теории действительных чисел.
Попробуйте объяснить, что такое число, не обращаясь к аксиомам.
Или, хотя бы, объясните, что такое "Волк", не упоминая о его свойствах и не изображая волка (на изображении, опять же, будут свойства волка).
Вот, и получается, что понимание волка оказывается равным знанию о его свойствах.
Теперь про порядок действий в а * b * c.
1. Письменные символы должны считываться в том же порядке, в каком они были записаны автором. У европейцев принято записывать слева направо, у евреев, арабов многих других народов - справа налево. И об этом спорить бессмысленно.
2. Алгоритм многократного пересчёта символов является доказанным, самым эффективным для компьютера и единственно возможным для преподавания в школе. Он заключается в следующем:
а. Пересчитывая символы слева направо, находить все знаки возведения в степень и сразу совершать возведение.
б. Пересчитывая символы слева направо, находить все знаки умножения и деления и сразу совершать эти действия.
в. Пересчитывая символы слева направо, находить все знаки сложения и вычетания и сразу совершать эти действия
2. Ваше утверждение Посему, а*в*...*ю МОЖНО выполнять и справа налево и слева направо и в произвольном порядке нужно сначала доказать, а потом написать новый алгоритм, как последовательность совершения элементарных действий.
Примечание: Пересчёт символов - это элементарные действия, связанные с присвоении каждом символу определённого номера (пусть, и мысленно).
iyugov, Каждый человек задаётся вопросами в соответствии с уровнем своего развития. В 5-ом классе аксиомы называют правилами, К этому слову и его значению они привыкли на уроках русского языка.
Таким образом, что такое числа, дети понимают как через операции с ними, но не осознают. Такое понимание называется привычкой, навыком.
Llirik, Так что, вы тоже правы в том, что в 5-ом классе аксиомы являются просто руководством к совершению действий.
От себя добавлю, что я не согласен с таким подходом в 5-ом классе, так как в девятом классе при изучении геометрии у многих возникают проблемы психологического порядка в отношении доказательств теорем (ломать привычку тяжело не только курильщикам).
Хотя практически применять аксиомы и теоремы большинство может, но лишь благодаря большой наглядности. То есть, все обоснования пытаются начать словами : "На рисунке мы видим, что...".
Цифра - это безумство, бесчестье и бессовестность нашей эпохи.
В начале было слово, в конце будет цифра.
Сообщение отредактировал Ротор2932 - Пятница, 06.09.2019, 22:35
|
|
|
|
|
|
Дата: Пятница, 06.09.2019, 23:35 | Сообщение #82
|
|
Llirik
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 43
Статус: Отсутствует
|
iyugov, Вы уже не первый раз намекаете на отсутствие у меня квалификации и понимания, не отвечая прямо на вопросы. Удобная позиция, когда по какой-то причине не желаете ответить прямо...
Давайте я спрошу совсем просто, чтобы не уходить в очередные разговоры о моем непонимании:
Можно ли ученику, после прохождения (строго по программе) выложенной в топике страницы, решать а*в*с как
а * (в *с ) ?Добавлено (06.09.2019, 23:59)
---------------------------------------------
Ротор2932,
"Мой ответ:
Действительные числа - это то..."
))) С ними можно ещё много чего делать... )))
"Свойства этих действий удовлетворяют системе аксиом и теорем теории действительных чисел"
))) Про возведение в степень - перебор... Действительные числа вполне комфортно задаются без операции возведения в степень... Достаточно аксиом порядка, плотности и двух операций (сложения и умножения, включая аксиоматического введения для них нейтральных и обратных элементов).
Про Ваш алгоритм улыбнуло... Он подходит лишь для выражений без явного указания приоритета (скобок) , использования ТОЛЬКО этих трёх операций и, конечно же, предварительного введения приоритетности степень-умножение-сложение...
"От себя добавлю, что я не согласен с таким подходом в 5-ом классе, так как в девятом классе при изучении геометрии у многих возникают проблемы психологического порядка в отношении доказательств теорем (ломать привычку тяжело не только курильщикам)."
А у меня наоборот воодушевление было, когда аксиомы стереометрии проходили (на первом же уроке в 10-м классе) . Было красиво (в смысле формализации без интуитивных образов). Много лет прошло, а тот урок запомнился. Это был первый урок в новой для меня (и всех моих одноклассников) школе.
|
|
|
|
|
|
Дата: Суббота, 07.09.2019, 12:51 | Сообщение #83
|
|
Ротор2932
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 49
Статус: Отсутствует
|
Llirik, Можно ли ученику, после прохождения (строго по программе) выложенной в топике страницы, решать а*в*с как а * (в *с ) ?
При проверке знаний правил порядка совершения действий нужно писать: а *в * с = а * (в * с) =...
При решении уравнений можно вообще всё это выполнить в уме, или на черновике, или калькуляторе.
Llirik, "Свойства этих действий удовлетворяют системе аксиом и теорем теории действительных чисел"
))) Про возведение в степень - перебор... Действительные числа вполне комфортно задаются без операции возведения в степень... Достаточно аксиом порядка, плотности и двух операций (сложения и умножения, включая аксиоматического введения для них нейтральных и обратных элементов).
Правила преобразования выражений со степенями с любым действительным числом в показателе (которые вообще-то являются теоремами) в школе преподаны как аксиомы. Ну, и что?
Это никак не мешает внедрению аксиоматического подхода в школе, как основы строгого логического мышления.
Llirik, Про Ваш алгоритм улыбнуло... Он подходит лишь для выражений без явного указания приоритета (скобок) , использования ТОЛЬКО этих трёх операций и, конечно же, предварительного введения приоритетности степень-умножение-сложение...
Вы же сами речь вели про выражения без скобок, функций и операторов (в частности а * в * с) !?
В присутствии скобок, функций и операторов данный алгоритм становиться подалгоритмом более общего алгоритма.
Но и общий алгоритм предполагает пересчёт символов слева направо.
Введение приоритетности степень-умножение-сложение... указано в самом алгоритме.
Llirik, А у меня наоборот воодушевление было, когда аксиомы стереометрии проходили (на первом же уроке в 10-м классе) . Было красиво (в смысле формализации без интуитивных образов). Много лет прошло, а тот урок запомнился. Это был первый урок в новой для меня (и всех моих одноклассников) школе.
Опыт показывает, что воодушевление испытывают не все, а только к некоторое меньшинство.
Среди ваших учеников только ваши дети, а среди моих в основном троечники.
Цифра - это безумство, бесчестье и бессовестность нашей эпохи.
В начале было слово, в конце будет цифра.
Сообщение отредактировал Ротор2932 - Суббота, 07.09.2019, 12:54
|
|
|
|
|
|
Дата: Суббота, 07.09.2019, 14:21 | Сообщение #84
|
|
Llirik
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 43
Статус: Отсутствует
|
Ротор2932,
"При проверке знаний правил порядка совершения действий нужно писать: а *в * с = а * (в * с) =..."
Если требуется вычислить 2*3*4 , записав по-отдельности каждое действие в порядке их выполнения, то вот так можно?
1) 3*4=12
2) 2*12=24
"Правила преобразования выражений со степенями с любым действительным числом в показателе (которые вообще-то являются теоремами) в школе преподаны как аксиомы. Ну, и что?
Это никак не мешает внедрению аксиоматического подхода в школе, как основы строгого логического мышления."
Вообще-то я отвечал на Ваше определение "что такое действительные числа". Степень упоминать там излишне... А по поводу формальной аксиоматики в школе, наверное не стоит. Чтобы понимать формальные системы надо обладать абстрактным мышлением, чего нет не только у большинства школьников, но и у подавляющего большинства взрослых (даже технарей). В школе по математике, как и сейчас, большинству детей надо давать практические знания, что и делается на основе понятных им интуитивных систем... Ну слишком уж узко специальные знания дает формальная аксиоматика...
"Вы же сами речь вели про выражения без скобок, функций..."
))) В кои веки функция перестала быть операцией а операция функцией!? Та же степень - это функция, посему выделять ее не имело смысла...
"Опыт показывает, что воодушевление испытывают не все, а только к некоторое меньшинство."
))) Вот-вот! Поэтому и не стоит всех грузить голой аксиоматикой. Это будет издевательство над психикой детей...
А нас можно и нужно было грузить... Мы же ради этого загруза и пошли в матшколу, которую вспоминал в предыдущем сообщении... )))
|
|
|
|
|
|
Дата: Суббота, 07.09.2019, 14:50 | Сообщение #85
|
|
iyugov
Владыка слова
Группа: Друзья
Сообщений: 1433
Статус: Отсутствует
|
Llirik, да, я действительно не желаю отвечать. Простые объяснения вас не устраивают, а сложные требуют больших ресурсов. Предлагаю вам получить (повысить) соответствующую квалификацию. Заодно это будет proof-of-work, чтобы впустую тут не писать.
|
|
|
|
|
|
Дата: Суббота, 07.09.2019, 15:37 | Сообщение #86
|
|
Ротор2932
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 49
Статус: Отсутствует
|
Llirik, Если требуется вычислить 2*3*4 , записав по-отдельности каждое действие в порядке их выполнения, то вот так можно?
1) 3*4=12
2) 2*12=24
Если 2 * 3 * 4 без скобок, то нельзя, а со скобкам всё понятно: "Сначала выполняются действия в скобках слева направо".
Llirik, школе по математике, как и сейчас, большинству детей надо давать практические знания, что и делается на основе понятных им интуитивных систем...
Тогда зачем вообще в учебниках писать (а * в) * с) = а * (в * с) ? Пусть сами интуитивно догадываются.
И вместо алгебраической записи пусть по-русски пишут, а до алгебры сами догадываются.
Вопрос: Переменная - это абстракция?
Цифра - это безумство, бесчестье и бессовестность нашей эпохи.
В начале было слово, в конце будет цифра.
Сообщение отредактировал Ротор2932 - Суббота, 07.09.2019, 15:38
|
|
|
|
|
|
Дата: Суббота, 07.09.2019, 16:33 | Сообщение #87
|
|
Llirik
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 43
Статус: Отсутствует
|
iyugov, объяснения!? )))
- Что такое умножение!?
- Объясняю: говорить об этом тебе бесполезно, т.к. ты не поймёшь ввиду отсутствия квалификации.
)))Добавлено (07.09.2019, 16:49)
---------------------------------------------
Ротор2932,
"Если 2 * 3 * 4 без скобок, то нельзя, а со скобкам всё понятно"
Хм... Вы тут все об аксиомах писать пытались. А можно узнать, откуда это следует? Из каких аксиом?
Операция умножения бинарная. Не так ли!? И что же тогда означает а*в*с? А знаете что!? Даже в кривом учебнике и то об этом правильно написано - скобки можно ОПУСКАТЬ (не писать) !
Т.е. и (а*в) *с и а*(в*с) можно записывать как а*в*с.
И не найдете Вы не в жизнь аксиом, или теорем, предписывающих делать слева направо! А вот аксиому ассоциативности очень даже легко... )))
"Пусть сами интуитивно догадываются."
Чую, Вы понятия не имеете о разнице формальных систем и интуитивных... В школе детей учат, а не интуитивно они обо всем догадываются... При этом изучают они именно интуитивные системы... )))
|
|
|
|
|
|
Дата: Суббота, 07.09.2019, 20:13 | Сообщение #88
|
|
iyugov
Владыка слова
Группа: Друзья
Сообщений: 1433
Статус: Отсутствует
|
Llirik, не надо передёргивать. Дело не в умножении, а в преподавании.
Цитата Llirik (  ) В школе детей учат, а не интуитивно они обо всем догадываются... |
|
|
|
|
|
Дата: Суббота, 07.09.2019, 23:39 | Сообщение #89
|
|
Ротор2932
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 49
Статус: Отсутствует
|
Llirik, "Если 2 * 3 * 4 без скобок, то нельзя, а со скобкам всё понятно"
Хм... Вы тут все об аксиомах писать пытались. А можно узнать, откуда это следует? Из каких аксиом?
Llirik, И не найдете Вы не в жизнь аксиом, или теорем, предписывающих делать слева направо!
Правильно, такой аксиомы нет.
А в какой аксиоме сказано, что сначала производятся действия в скобках?
Или вы и ъто хотите отменить?
Llirik, Если утверждаете, что в выражении а * в * с сомножители можно перемножать в любом порядке, тогда должны его оформить как аксиому вместо (а*в) *с = а*(в*с), а не отрицать общепринятого порядка совершения действий.
Но тогда я бы предложил более сильную и практически более значимую аксиому о том, что в любом произведении можно любые 2 сомножителя поменять местами вместо сразу 2-х аксиом а * в = в* а и (а*в) *с = а*(в*с).
Llirik, Чую, Вы понятия не имеете о разнице формальных систем и интуитивных... В школе детей учат, а не интуитивно они обо всем догадываются... При этом изучают они именно интуитивные системы... )))
А я чую, что интуиция (по крайней мере, в школе) может правильно подсказать только последовательность применения уже известных формул в ходе решения или доказательства в нетиповых задачах (например, олимпиадных).
Но практического толка в техническом развитии страны от таких интуитов что-то не видно.
В остальных случаях всё равно придётся логическим путём проверять правильность интуитивного ответа, то есть фактически решить задачу логически.
Совсем другое дело в большой науке, где изобретаются новые теории.
Так, там речь идёт о научной интуиции, базой которой является постоянное занятие наукой.
Но это большая редкость.
Например, аксиоматический подход во времена Евклида только чувствовался, но только в XIX веке был осознан.
Так же было и с квантовой механикой теорией относительности.
Цифра - это безумство, бесчестье и бессовестность нашей эпохи.
В начале было слово, в конце будет цифра.
Сообщение отредактировал Ротор2932 - Воскресенье, 08.09.2019, 00:10
|
|
|
|
|
|
Дата: Воскресенье, 08.09.2019, 00:52 | Сообщение #90
|
|
Llirik
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 43
Статус: Отсутствует
|
Ротор2932,
"А в какой аксиоме сказано, что сначала производятся действия в скобках?"
))) Скобки (в выражениях) - это всего лишь обозначение в явном виде последовательности выполнений действий. Выражение в скобках рассматривается как один единый элемент для операций вне этих скобок... Скобки не являются математическим объектом, поэтому и аксиом, определяющих, что такое скобки в принципе быть не может! Скобки - это не мат объекты, а символы, служащие для записи выражений...
"а не отрицать общепринятого порядка совершения действий."
Кем принятого!? Никто его не принимал. Ну нет такого явления в принципе! Вопрос о противоречии в учебнике и возник из-за того, что неожиданно звучит несуществующее в математике требование! Да ещё и отменяющее существующую (И ПРОЙДЕННУЮ учениками) математическую закономерность (ассоциативность).
"А я чую, что интуиция (по крайней мере, в школе) может правильно подсказать только..."
Вы продолжаете не слышать...
Я не говорю про интуицию как таковую. Я писал про то, что в школе не изучают ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ по причине неспособности к абстрактному мышлению. Весь школьный курс (спецшколы не в счёт) - это изучение интуитивных систем. По той простой причине, что даже сами основные понятия (ЧИСЛО, ТОЧКА...) не формализованы в школе, а даются на интуитивном (наглядно-образном) уровне. И это правильно! Научить можно лишь тому, что ученики способны понимать. Посему Ваше предложение о формализации математики в школе считаю несостоятельным...
|
|
|
|
