[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
  • Страница 9 из 10
  • «
  • 1
  • 2
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • »
Модератор форума: KarMaN  
Форум учителей » Форумы для учителей предметников » Форум учителей математики » Ассоциативность операции умножения
Ассоциативность операции умножения
Дата: Пятница, 06.09.2019, 22:28 | Сообщение #81

Ротор2932

фотография отсутствует
Начинающий
Группа: Пользователи
Сообщений: 19
Статус: Отсутствует
Llirik, Начнём с того, что такое действительные числа?
Мой ответ:
Действительные числа - это то, что можно складывать с другим числом, умножать на другое число и возводить в степень с числом в показателе, причём:
1. Неважна  природа этих действий, важно то, что они разные.
2. Результатом этих действий является снова число,
2. Свойства этих действий удовлетворяют системе аксиом и теорем теории действительных чисел.

Попробуйте объяснить, что такое число, не обращаясь к аксиомам.
Или, хотя бы, объясните, что такое "Волк", не упоминая о его свойствах и не изображая волка (на изображении, опять же, будут свойства волка).
Вот, и получается, что понимание волка оказывается равным знанию о его свойствах.

Теперь про порядок действий в а * b * c.
1. Письменные символы должны считываться в том же порядке, в каком они были записаны автором. У европейцев принято записывать слева направо, у евреев, арабов многих других народов - справа налево. И об этом спорить бессмысленно.
2. Алгоритм многократного пересчёта символов является доказанным, самым эффективным для компьютера и единственно возможным для преподавания в школе. Он заключается в следующем:
а. Пересчитывая символы слева направо, находить все знаки возведения в степень и сразу совершать возведение.
б. Пересчитывая символы слева направо, находить все знаки умножения и деления и сразу совершать эти действия.
в. Пересчитывая символы слева направо, находить все знаки сложения и вычетания и сразу совершать эти действия
2. Ваше утверждение Посему, а*в*...*ю МОЖНО выполнять и справа налево и слева направо и в произвольном порядке нужно сначала доказать, а потом написать новый алгоритм, как последовательность совершения элементарных действий.
Примечание: Пересчёт символов - это элементарные действия, связанные с присвоении каждом символу определённого номера (пусть, и мысленно).

iyugov, Каждый человек задаётся вопросами в соответствии с уровнем своего развития. В 5-ом классе аксиомы называют правилами, К этому слову и его значению они привыкли на уроках русского языка.
Таким образом, что такое числа, дети понимают как через операции с ними, но не осознают. Такое понимание называется привычкой, навыком.

Llirik, Так что, вы тоже правы в том, что в 5-ом классе аксиомы являются просто руководством к совершению действий.

От себя добавлю, что я не согласен с таким подходом в 5-ом классе, так как в девятом классе при изучении геометрии у многих возникают проблемы психологического порядка в отношении доказательств теорем (ломать привычку тяжело не только курильщикам).
Хотя практически применять аксиомы и теоремы большинство может, но лишь благодаря большой наглядности. То есть, все обоснования пытаются начать словами : "На рисунке мы видим, что...".


Сообщение отредактировал Ротор2932 - Пятница, 06.09.2019, 22:35
Дата: Пятница, 06.09.2019, 23:35 | Сообщение #82

Llirik

фотография отсутствует
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 43
Статус: Отсутствует
iyugov, Вы уже не первый раз намекаете на отсутствие у меня квалификации и понимания, не отвечая прямо на вопросы. Удобная позиция, когда по какой-то причине не желаете ответить прямо...

Давайте я спрошу совсем просто, чтобы не уходить в очередные разговоры о моем непонимании:
Можно ли ученику, после прохождения (строго по программе) выложенной в топике страницы, решать а*в*с как
а * (в *с ) ?

Добавлено (06.09.2019, 23:59)
---------------------------------------------
Ротор2932,
"Мой ответ:
Действительные числа - это то..."
))) С ними можно ещё много чего делать... )))

"Свойства этих действий удовлетворяют системе аксиом и теорем теории действительных чисел"
))) Про возведение в степень - перебор... Действительные числа вполне комфортно задаются без операции возведения в степень... Достаточно аксиом порядка, плотности и двух операций (сложения и умножения, включая аксиоматического введения для них нейтральных и обратных элементов).

Про Ваш алгоритм улыбнуло... Он подходит лишь для выражений без явного указания приоритета (скобок) , использования ТОЛЬКО этих трёх операций и, конечно же, предварительного введения приоритетности степень-умножение-сложение...

"От себя добавлю, что я не согласен с таким подходом в 5-ом классе, так как в девятом классе при изучении геометрии у многих возникают проблемы психологического порядка в отношении доказательств теорем (ломать привычку тяжело не только курильщикам)."

А у меня наоборот воодушевление было, когда аксиомы стереометрии проходили (на первом же уроке в 10-м классе) . Было красиво (в смысле формализации без интуитивных образов). Много лет прошло, а тот урок запомнился. Это был первый урок в новой для меня (и всех моих одноклассников) школе.

Дата: Суббота, 07.09.2019, 12:51 | Сообщение #83

Ротор2932

фотография отсутствует
Начинающий
Группа: Пользователи
Сообщений: 19
Статус: Отсутствует
LlirikМожно ли ученику, после прохождения (строго по программе) выложенной в топике страницы, решать а*в*с как а * (в *с ) ?

При проверке знаний правил порядка совершения действий нужно писать: а *в * с = а * (в * с) =...
При решении уравнений можно вообще всё это выполнить в уме, или на черновике, или калькуляторе.

Llirik"Свойства этих действий удовлетворяют системе аксиом и теорем теории действительных чисел"
))) Про возведение в степень - перебор... Действительные числа вполне комфортно задаются без операции возведения в степень... Достаточно аксиом порядка, плотности и двух операций (сложения и умножения, включая аксиоматического введения для них нейтральных и обратных элементов).


Правила преобразования выражений со степенями с любым действительным числом в показателе (которые вообще-то являются теоремами) в школе преподаны как аксиомы. Ну, и что?
Это никак не мешает внедрению аксиоматического подхода в школе, как основы строгого логического мышления.

LlirikПро Ваш алгоритм улыбнуло... Он подходит лишь для выражений без явного указания приоритета (скобок) , использования ТОЛЬКО этих трёх операций и, конечно же, предварительного введения приоритетности степень-умножение-сложение...

Вы же сами речь вели про выражения без скобок, функций и операторов (в частности а * в * с) !?
В присутствии скобок, функций и операторов данный алгоритм становиться подалгоритмом более общего алгоритма.
Но и общий алгоритм предполагает пересчёт символов слева направо.
Введение приоритетности степень-умножение-сложение... указано в самом алгоритме.

LlirikА у меня наоборот воодушевление было, когда аксиомы стереометрии проходили (на первом же уроке в 10-м классе) . Было красиво (в смысле формализации без интуитивных образов). Много лет прошло, а тот урок запомнился. Это был первый урок в новой для меня (и всех моих одноклассников) школе.

Опыт показывает, что воодушевление испытывают не все, а только к некоторое меньшинство.
Среди ваших учеников только ваши дети, а среди моих в основном троечники.


Сообщение отредактировал Ротор2932 - Суббота, 07.09.2019, 12:54
Дата: Суббота, 07.09.2019, 14:21 | Сообщение #84

Llirik

фотография отсутствует
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 43
Статус: Отсутствует
Ротор2932,
"При проверке знаний правил порядка совершения действий нужно писать: а *в * с = а * (в * с) =..."
Если требуется вычислить 2*3*4 , записав по-отдельности каждое действие в порядке их выполнения, то вот так можно?
1) 3*4=12
2) 2*12=24

"Правила преобразования выражений со степенями с любым действительным числом в показателе (которые вообще-то являются теоремами) в школе преподаны как аксиомы. Ну, и что?
Это никак не мешает внедрению аксиоматического подхода в школе, как основы строгого логического мышления."
Вообще-то я отвечал на Ваше определение "что такое действительные числа". Степень упоминать там излишне... А по поводу формальной аксиоматики в школе, наверное не стоит. Чтобы понимать формальные системы надо обладать абстрактным мышлением, чего нет не только у большинства школьников, но и у подавляющего большинства взрослых (даже технарей). В школе по математике, как и сейчас, большинству детей надо давать практические знания, что и делается на основе понятных им интуитивных систем... Ну слишком уж узко специальные знания дает формальная аксиоматика...

"Вы же сами речь вели про выражения без скобок, функций..."
))) В кои веки функция перестала быть операцией а операция функцией!? Та же степень - это функция, посему выделять ее не имело смысла...

"Опыт показывает, что воодушевление испытывают не все, а только к некоторое меньшинство."
))) Вот-вот! Поэтому и не стоит всех грузить голой аксиоматикой. Это будет издевательство над психикой детей...
А нас можно и нужно было грузить... Мы же ради этого загруза и пошли в матшколу, которую вспоминал в предыдущем сообщении... )))
Дата: Суббота, 07.09.2019, 14:50 | Сообщение #85

iyugov

Профиль пользователя iyugov
Владыка слова
Группа: Друзья
Сообщений: 1430
Статус: Отсутствует
Llirik, да, я действительно не желаю отвечать. Простые объяснения вас не устраивают, а сложные требуют больших ресурсов. Предлагаю вам получить (повысить) соответствующую квалификацию. Заодно это будет proof-of-work, чтобы впустую тут не писать.

Dixi.
Дата: Суббота, 07.09.2019, 15:37 | Сообщение #86

Ротор2932

фотография отсутствует
Начинающий
Группа: Пользователи
Сообщений: 19
Статус: Отсутствует
LlirikЕсли требуется вычислить 2*3*4 , записав по-отдельности каждое действие в порядке их выполнения, то вот так можно?
1) 3*4=12
2) 2*12=24


Если 2 * 3 * 4 без скобок, то нельзя, а со скобкам всё понятно: "Сначала выполняются действия в скобках слева направо".

Llirikшколе по математике, как и сейчас, большинству детей надо давать практические знания, что и делается на основе понятных им интуитивных систем...

Тогда зачем вообще в учебниках писать (а * в) * с) = а * (в * с) ? Пусть сами интуитивно догадываются.
И вместо алгебраической записи пусть по-русски пишут, а до алгебры сами догадываются.

Вопрос: Переменная - это абстракция?


Сообщение отредактировал Ротор2932 - Суббота, 07.09.2019, 15:38
Дата: Суббота, 07.09.2019, 16:33 | Сообщение #87

Llirik

фотография отсутствует
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 43
Статус: Отсутствует
iyugov, объяснения!? )))

- Что такое умножение!?
- Объясняю: говорить об этом тебе бесполезно, т.к. ты не поймёшь ввиду отсутствия квалификации.

)))

Добавлено (07.09.2019, 16:49)
---------------------------------------------
Ротор2932,
"Если 2 * 3 * 4 без скобок, то нельзя, а со скобкам всё понятно"
Хм... Вы тут все об аксиомах писать пытались. А можно узнать, откуда это следует? Из каких аксиом?
Операция умножения бинарная. Не так ли!? И что же тогда означает а*в*с? А знаете что!? Даже в кривом учебнике и то об этом правильно написано - скобки можно ОПУСКАТЬ (не писать) !
Т.е. и (а*в) *с и а*(в*с) можно записывать как а*в*с.
И не найдете Вы не в жизнь аксиом, или теорем, предписывающих делать слева направо! А вот аксиому ассоциативности очень даже легко... )))

"Пусть сами интуитивно догадываются."
Чую, Вы понятия не имеете о разнице формальных систем и интуитивных... В школе детей учат, а не интуитивно они обо всем догадываются... При этом изучают они именно интуитивные системы... )))

Дата: Суббота, 07.09.2019, 20:13 | Сообщение #88

iyugov

Профиль пользователя iyugov
Владыка слова
Группа: Друзья
Сообщений: 1430
Статус: Отсутствует
Llirik, не надо передёргивать. Дело не в умножении, а в преподавании.
Цитата Llirik ()
В школе детей учат, а не интуитивно они обо всем догадываются...
Одно другого не исключает.


Dixi.
Дата: Суббота, 07.09.2019, 23:39 | Сообщение #89

Ротор2932

фотография отсутствует
Начинающий
Группа: Пользователи
Сообщений: 19
Статус: Отсутствует
Llirik"Если 2 * 3 * 4 без скобок, то нельзя, а со скобкам всё понятно"
Хм... Вы тут все об аксиомах писать пытались. А можно узнать, откуда это следует? Из каких аксиом?


Llirik, И не найдете Вы не в жизнь аксиом, или теорем, предписывающих делать слева направо!

Правильно, такой аксиомы нет.
А в какой аксиоме сказано, что сначала производятся действия в скобках?
Или вы и ъто хотите отменить?

Llirik, Если утверждаете, что в выражении а * в * с сомножители можно перемножать в любом порядке, тогда должны его оформить как аксиому вместо (а*в) *с = а*(в*с), а не отрицать общепринятого порядка совершения действий.
Но тогда я бы предложил более сильную и практически более значимую аксиому о том, что в любом произведении можно любые 2 сомножителя поменять местами вместо сразу 2-х аксиом а * в = в* а и (а*в) *с = а*(в*с).

LlirikЧую, Вы понятия не имеете о разнице формальных систем и интуитивных... В школе детей учат, а не интуитивно они обо всем догадываются... При этом изучают они именно интуитивные системы... )))

А я чую, что интуиция (по крайней мере, в школе) может правильно подсказать только последовательность применения уже известных формул в ходе решения или доказательства в нетиповых задачах (например, олимпиадных).
Но практического толка в техническом развитии страны от таких интуитов что-то не видно.
В остальных случаях всё равно придётся логическим путём проверять правильность интуитивного ответа, то есть фактически решить задачу логически.

Совсем другое дело в большой науке, где изобретаются новые теории.
Так, там речь идёт о научной интуиции, базой которой является постоянное занятие наукой.
Но это большая редкость.
Например, аксиоматический подход во времена Евклида только чувствовался, но только в XIX веке был осознан.
Так же было и с квантовой механикой теорией относительности.


Сообщение отредактировал Ротор2932 - Воскресенье, 08.09.2019, 00:10
Дата: Воскресенье, 08.09.2019, 00:52 | Сообщение #90

Llirik

фотография отсутствует
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 43
Статус: Отсутствует
Ротор2932,
"А в какой аксиоме сказано, что сначала производятся действия в скобках?"
))) Скобки (в выражениях) - это всего лишь обозначение в явном виде последовательности выполнений действий. Выражение в скобках рассматривается как один единый элемент для операций вне этих скобок... Скобки не являются математическим объектом, поэтому и аксиом, определяющих, что такое скобки в принципе быть не может! Скобки - это не мат объекты, а символы, служащие для записи выражений...

"а не отрицать общепринятого порядка совершения действий."
Кем принятого!? Никто его не принимал. Ну нет такого явления в принципе! Вопрос о противоречии в учебнике и возник из-за того, что неожиданно звучит несуществующее в математике требование! Да ещё и отменяющее существующую (И ПРОЙДЕННУЮ учениками) математическую закономерность (ассоциативность).

"А я чую, что интуиция (по крайней мере, в школе) может правильно подсказать только..."
Вы продолжаете не слышать...
Я не говорю про интуицию как таковую. Я писал про то, что в школе не изучают ФОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ по причине неспособности к абстрактному мышлению. Весь школьный курс (спецшколы не в счёт) - это изучение интуитивных систем. По той простой причине, что даже сами основные понятия (ЧИСЛО, ТОЧКА...) не формализованы в школе, а даются на интуитивном (наглядно-образном) уровне. И это правильно! Научить можно лишь тому, что ученики способны понимать. Посему Ваше предложение о формализации математики в школе считаю несостоятельным...
Форум учителей » Форумы для учителей предметников » Форум учителей математики » Ассоциативность операции умножения
  • Страница 9 из 10
  • «
  • 1
  • 2
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • »
Поиск:
Если Вы хотите оставить сообщение на форуме, то рекомендуем Вам зарегистрироваться на нашем сайте или войти на портал как зарегистрированный пользователь
Маркер СМИ

© 2007 - 2020 Сообщество учителей-предметников "Учительский портал"
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель: Никитенко Евгений Игоревич


Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Ответственность за разрешение любых спорных вопросов, касающихся опубликованных материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте.
Администрация портала готова оказать поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.