Форма контроля знаний учащихся на уроках математики

«…Система современного урока – это педагогика возможностей, а не только реальностей. Если исходить из реальностей, то нужно объяснить лишь то, что ученик может и должен понять. Если исходить из возможностей, то можно объяснить то, что ученик на данном уроке может не понять, но будут созданы условия для понимания излагаемых мыслей».

Это утверждение заставляет по – новому взглянуть на организацию учебной деятельности учащихся. Учителю необходимо почувствовать, определить иногда и интуитивно потенциальные возможности своих учеников, и с этим расчётом строить уроки. И успех во многом зависит от той формы работы, который преподаватель выбирает для своего урока.

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Ведь дети идут на урок, чаще всего, за общением с друзьями, с учителем. Наивысшую радость и удовлетворение они испытывают от работы, позволяющей им открывать себя: свои способности. Возможности раскрытия личности ребёнка во многом зависят от способа подачи материала, от способа организации труда школьников на уроке. Поиск и выбор способа ведения урока связан с работой по формированию умений наблюдать, анализировать, обобщать, делать выводы, задавать вопросы, спорить, отстаивать свою точку зрения, оперировать не только маленькими порциями учебного материала, но и знаниями , полученными при изучении темы целиком.

Немаловажную роль отводится к формам контроля знаний.

1. Активная работа (групповая, парная работа)

2. Устный опрос

А) устный счёт
Б) «кто быстрее?»
В) математические эстафеты, цепочки
Г) «Открой окошко»
Д) математический словарный диктант

3). Самостоятельная работа

А) обучающиеся
Б) развивающиеся
В) закрепительные( карточка для коррекций знаний)
Г) творческие
Д) повторительные
Е) контрольные
Ж) тренировочные

1. Групповые занятия учащихся являются промежуточными между коллективным и индивидуальным видами организации изучения нового материала.

Работа учителя математики связана с целым рядом трудностей. Одна из них обусловлена обилием творческих сведений, которые ученики должны усвоить. Поэтому во время объяснения нового материала учитель часто не в состоянии охватывать всех учащихся, нуждающихся в дополнительных разъяснениях. Это обстоятельство привело нас к заключению, что эффективная помощь всем средним и слабоуспевающим учащимся может быть организована в учебных группах, состоящих из учащихся класса. Мы составляем группы из четырёх человек таким образом, чтобы каждую группу вошли учащиеся, как с сильными, так и со слабыми учебными возможностями. Эти группы рассаживают так, чтобы одна пара сидела за другой. Во время работы группы передняя пара поворачивается к задней.

Когда группы сформированы, мы проводим специальную беседу с классом, разъясняя учащимся задачи учебных групп. Во время беседы особо подчёркивается ответственность членов групп друг за друга. Такая беседа благоприятно сказывается на выработке сознательного отношения учащихся к работе в группе, а значит, и к учёбе в целом. Для каждой группы учитель назначает ассистента. Как правило, это ученик с отличными или хорошими учебными возможностями. Однако целесообразно назначить ассистентом самого сильного учащегося, а самого организованного, который сможет наладить работу всей группы.

Ассистенты – это костяк, на который учитель опирается в своей работе с классом, иначе говоря, это математический актив. Мы пришли к выводу, что без помощи такого трудно должным образом использовать, а тем более совершенствовать познавательные возможности учащихся, в традиционных формах обучения работа с активом заключается в том, что учитель даёт этим учащимся дополнительные задачи и только. Если ученики являются ассистентами; они становятся проводниками учебной линии учителя. Ассистенты оценивают работу членов учебной группы и в конце урока кладут на стол учителя оценочную карточку ученика.

Деятельность учебной группы организуется во время изучения нового материала и сочетается с фронтальной работой класса. В одном случае фронтальная работа предшествует групповой, а в другом наоборот. Приведём пример.

Изучение темы «Теорема Виета» мы начинаем с организации групповой деятельности учащихся.

Учитель объявляет, что урок начинается с самостоятельной работы, которую ученики должны выполнить в группах. Каждому звену вручается карточку с дидактическим материалом. Ниже приведем текст одной такой карточки.

Даны квадратные уравнения:

4х^2 – 12х + 9 = 0
2х^2= 5х – 3
4х^2 = - 36х
4х^2 = 16

Все группы получают единое задание, состоящих из четырёх пунктов:

1. Решить уравнения.
2. Найти для каждого уравнения сумму и произведение его корней.
3. Найти для каждого уравнения частное от деления второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, на первый коэффициент, и частное от деления свободного члена на этот же первый коэффициент.
4. Сравнить полученное значения частных для каждого уравнения с соответствующими значениями суммы и произведения его корней.

После выполнения этих заданий начинается фронтальная работа учителя с классом. Представители групп докладывают о своих результатах. При этом выясняется, что для каждого уравнения сумма его корней оказалась равной частному от деления второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, на первый коэффициент, а произведение корней – частному от деления свободного члена на тот же первый коэффициент. Далее следует уточнения для случаев, когда первый коэффициент в уравнении равен 1, когда свободный член равен нулю или второй коэффициент равен нулю. В результате своих наблюдений ученики высказывают предположение: обнаруженные равенства, видимо, не случайны, а являются свойствами квадратных уравнений.

Подтверждая догадку семиклассников, учитель говорит, что обнаруженные свойства доказаны французским математиком Франсуа Виетом (1540 – 1603), и формирует теорему Виета. Беседа заканчивается формулировкой утверждения, обратного теоремой Виета.

Далее учитель показывает, как по данным двум числам составляется квадратное уравнение. Например:
1. Х1 = 5
Х2 = 6 х2 - 11х + 30 = 0
2. Х1 = -8
Х2 = -4 х2 + 12х + 32 = 0

После этого ученики снова выполняют работу по группам, упражняясь в составлении квадратных уравнений по данным значениям их корней.

Урок завершается во фронтальной форме. В ходе беседы выясняется, что изученные свойства корней квадратного уравнения дали возможность установить существования теоремы Виеты и обратной ей теоремы. А при их помощи был «открыт» способ составления квадратных уравнений.
Доказательства этих теорем рассматриваются на следующем уроке. Таким образом, на одном и том же уроке была осуществлена подготовка школьников к предстоящему доказательству теоремы Виета и в то же время раскрыто её практическое знание. Сочетание групповой и фронтальной форм работы над новой темой помогает организовать деятельность учащихся, на основе которой они сами приходят к новым для них математических выводам.

2. В ходе устной работы использую игровые технологии.

Игровая технология используется в следующих случаях: в качестве самостоятельных технологии для освоения понятия, темы.

Игровая форма создаётся на уроках при помощи игровых приёмов и ситуации, выступающих, как средство стимулирования к учебной деятельности.

А) математическая эстафета: ученики по очереди называют ответы отдельных примеров/ Использую различные виды игр, как средство активизация учебного процесса: тренировочные, познавательно – контрольные, сюжетно-ролевые и творческие. При проведении дидактических игр у детей вызывает живой интерес, стимулирует творческое воображение.
Б) Математический диктант активизирует внимания школьников позволяет быстро проверить и оценивать их знания и умения, является хорошим организующим элементом урока. В словарных диктантах идёт работа с математическими терминами, усвоение правописание терминов, понимание их смысла.

3. Важнейшим средством развития детей, воспитания у них интереса к учению и достижение глубоких и прочных знаний является организация их самостоятельной творческой деятельности. 

Это необходимое условие мышления и становления личности ребёнка. Говоря об ученике как о личности, прежде всего надо ценить его самостоятельность, умение ставить задачи и решать их. Самостоятельную деятельность учащихся можно и нужно организовывать на различных уровнях самостоятельности: от воздействия действий по образцу и узнавания объектов путём их сравнения с известным образцом до составления модели и алгоритма действий в нестандартных ситуациях.

«Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью», эти слова Л.Н.Толстого должны стать смыслом работы учителя.

В зависимости от целей, которые ставятся перед самостоятельными работами, они могут быть:

• обучающими;
• развивающими;
• закрепительными;
• творческими;
• повторительными;
• контрольными;
• тренировочными

Остановимся на тех видах самостоятельной работы, в организации которых возможно использование разноуровневых заданий. Большие возможности для этого имеются в обучающих и тренировочных самостоятельных работах.

Используются карточки для коррекции знаний по курсу математики. Карточки охватывают ключевые вопросы курса. Каждая посвящается одному отдельному вопросу и состоит из трёх частей: инструкции ( формулировка правил), образца применения этой инструкции и заданий для учащихся.

Карточки предназначены для дополнительных занятий с учащимися. Если ученик на таком занятии правильно выполнил пять первых заданий из 15, этого достаточно. Если не смог учитель ему объясняет и даёт следующие пять заданий на дом, а если ещё не верно решил и ещё остальные пять заданий.

После того, как учитель объяснит всему классу новый материал и проведёт первоначальное формирование умений по данной теме, учащиеся могут приступить к дифференцированной самостоятельной работе. Её особенность состоит в том, что группа базового уровня и группа продвинутого уровня получают задания, различающиеся не только содержанием, но и формой их подачи.

Проиллюстрирую это на дифференцированных заданиях, составленных к теме : «Сложение и вычитание многочленов» курса алгебры 7 класса.

Задание составлены в двух вариантах: вариант 1 предназначен для группы базового уровня, вариант 2 для группы продвинутого уровня. Вариант 1 содержит большое количество простых тренировочных упражнений с постепенным пошаговым нарастанием трудности. Во 2 варианте преобладают задания комбинированного характера, требующие установления связей между отдельными компонентами курса и применения нестандартных приёмов решения. В каждом варианте упражнения начинаются с простейших и располагаются по возрастающей сложности. Однако это возрастание в разные вариантах проходит с разным ускорением . Вариант 1 строится таким образом, что переход от одного упражнения к другому связан с небольшим варьированием данных или с незначительными усложнениями формулировки задания. Такой подход позволяет решить важную дидактическую задачу – предоставить слабым учащимся возможность на каждом шаге преодолевать только одну какую – либо трудность. Во 2 варианте сложность заданий возрастает в значительно более высоком темпе. Это позволяет быстрее пройти начальный этап формирования соответствующего умения и выйти на усложнённые комбинированные задания.

Задания по теме «Сложение и вычитание многочленов»

I. вариант

1.Закончите выполнение сложения вычитания многочленов

а) (2х – 3у) + (4х – 8у) = 2х – 3у + 4х – 8у =
б) (2х^4 + 7х^3) – (х^4 – 3х^3) = 7х^3 + 2х^4 – х^4 + 3х^3 =

2. Раскройте скобки, перед которыми стоит знак «+» или «- » , используя соответствующие правило :

а) 3а^2 +( а + 4)
б) 17вс – (в – с)
в) 7х + ( -х^2 - 3х)
г) 4у^3 – ( у^3 – у + 1)

3. Раскройте скобки и выполните приведение подобных членов :

а) 8а + ( 3в – 5а)
б) 5х – ( 3 – х)
в) ( 3х + 6) + 12 – 2х)
г) ( 2,5а – 4) – (9,5а +2)

4.Упростите выражение:

а) ( 12а + 3в) + ( 2а – 4в)
б) ( а^2 + 2а – 1) + ( 3а^2 -а +6)
в) ( 4ху – 3х^2) – ( -ху + 5х^2)
г) ( х^2 – ху + у^2) – ( -2х^2 – ху – у^2)

5. Упростите выражение и найдите его значение при а = 4

а) (а^2 – 2а + 3) – (а^2 – 5а + 1) - 4
б) ( 5а – 6) – (3а + 8) + ( 6 – а)

II – вариант

1. Составьте сумму и разность данных многочленов и упростите их:

а) 4в^2 + 2в и в^2 -2в
б) 5х^2 + 6ху и х^2 - 12ху

2. Упростите выражение :

а) ( 42х + 106 у) – ( 17х – 84у) + ( 14х – у)
б) (1/3а^2 + 1/2в – 1) + ( 1/4 в – 1/6а^2+ в) – ( 3/4 в – а^2)

3. Пусть А = 5а^2 – ав + 12ав^2 ; В = 4а^2 + 8ав – в^2; С= 9а^2 – 11 в^2.

Составьте и упростите выражение:
а) А + В + С б) А - В + С в) -А + В + С

4. Докажите, что значение выражения (а^2 - 6ав + 9в^2) + ( 3а^2 +ав -7 в^2) – ( а^2 – 5ав + 2в^2) не зависит от в.

Необязательно все учащиеся должны одновременно работать самостоятельно. Существует несколько способов применения вариантов различной сложности:

а) 1 уровень ( базовый) решают общее задание фронтально под наблюдением учителя, а 2 и 3 уровни выполняют общее или индивидуальное задания самостоятельно. Для них предусмотрен какой – либо вариант проверки ( с использованием поворотных досок, магнитной доски и др.)
б) 1 и 2 уровни работают самостоятельно, а 3 уровень вместе с учителем разбирают задание повышенной трудности;
в) учащиеся, хорошо усвоившие материал, работают самостоятельно, а те , у которого возникли затруднения, выполняют задания под руководством учителя.

Такая организация формирования и закрепления умений позволяет заботиться о развитии сильного ученика, предупредить отстаивание слабого, даёт возможность основной массе класса получить достаточно прочные знания по теме.

Индивидуальными самостоятельными работами развивающего характера могут быть домашние задания по составлению докладов на определённые темы, подготовка к научно – творческим конференциям, проведение в школе « дней математики», сочинение математических игр, сказок, спектаклей и др.
На уроках – это самостоятельные работы, требующие умения решать исследовательские задачи, то есть такие задачи, решение которых связано с проявлением смекалки, сообразительности. Многие исследователи отмечают, что отстаивание слабых учащихся по математике связано с низким уровнем развития. Поэтому не только сильным, но и слабым учащимся надо предлагать задания, требующие нестандартных решений. Конечно, для, слабых учеников надо составить простые, достаточно « прозрачные» задачи на соображение, для сильных – более сложные задачи.

Приведу пример разноуровневых заданий творческого характера по курсе алгебры 7 – го класса .

1 вариант (базовый)
1. Не выполняя вычислений, определите, положительным или отрицательным числом является значение выражения:

а) 3,2 • 1,6 – 36
б) 10 – 26,01 ∶ 3

2. В числе 41* замените знак * цифрой так, чтобы получилось чётное число , кратное 3.

3. При измерение роста учеников в конце учебного оказалось , что Коля на 5 см, выше, чем Петя. За лето Коля вырос на 2 см, а Петя на 3 см. Кто из мальчиков стал выше и на сколько?

4. Известно, что при некоторых значениях а и в значение выражения а – в равно 3.

Чему равно при тех же а и в значение выражения:

А) 5а – 5в в) 12в – 12а в) (а- в)^2 г) 3а^2 – 6ав + 3в^2

Творческие задания стимулируют познавательную активность слабых школьников. Ребята, потратившие определённые усилия на творческие задания, охотно принимают участие в обсуждении этих заданий, с интересом выслушивают объяснение приёмов их решения даже в тех случаях, когда они этих приёмов сами найти не смогли.

Для восполнения пробелов в знаниях учащихся и устранения фактических ошибок весьма эффективно использовать разнообразные приёмы самоконтроля, алгоритмические и программированные упражнения, так как в них материал делится на логические этапы, дозы. В каждом варианте выделяются наиболее трудные вопросы, которые могут служить причиной ошибок. Особенность 1 варианта состоит в том, что в нём инструктивный материал представлен достаточно широко. Это образцы решений, задания с начатым, но не оконченным решением, задания с пропущенными данными, задания с выбором ответа, данные для самоконтроля, ответы

Для контроля и оценки знаний учащихся стараюсь использовать зачётную систему. Зачётная система проверки и оценки знаний учащихся включает в себя не только проведение зачётов, но и предусматривает специальное построение системы уроков по всей изученной теме в целом, а так же различных приёмов, позволяющих включить каждого ученика в активную работу.

Изучение большой темы начинается с сообщения учащимися плана работы: количество уроков краткое содержание, какие виды уроков будут применяться при изучении темы, на каких уроках будут проводиться промежуточные зачёты, указывается срок итогового зачёта.

Учащимся даётся долговременное домашнее задание, нацеленное на подготовку к зачёту. Ребята обращаются к учителю, к консультанту в случае, если затрудняются решить ту или иную задачу. Для тех кому это необходимо можно организовать индивидуальные консультации.

Кроме долговременного домашнего задания есть и текущее, которое проверяется на уроках. На протяжении всего зачётного периода на стендах вывешиваются задания к зачёту, различные задачи, вопросы.

В конце изучения темы проводится зачёт в результате которого ученик получает итоговую отметку за тему . На зачёт отводится два урока. Если к концу изучения темы все домашние задания и промежуточные зачётные работы у ученика оценены положительно то получение оценки «3» обеспечивается автоматически. Чтобы получить оценку «4» и «5» нужно выполнить задания обязательного уровня и брать дополнительные задания для выполнения.

Предлагается другая форма зачёта.

Перед зачётом проводится самостоятельная работа. В неё включается типичные вопросы изученного материала и более сложные, требующие использования теории в нестандартной ситуации. Учащиеся получившие за самостоятельную работу « отлично» помогают учителю проводить зачёт.

Зачёт состоит из теоретической и практической части.

Теоретическую часть опрос производили помощники, отмечая результат в специальной карточке. На уроке сдаётся только практическая часть зачёта. Каждому ученику даётся карточка с обязательным и дополнительным и дополнительным заданием. Время на выполнение работы – 30 минут, на проверку 10 минут, на подведение итогов – 5 минут. Класс разделён на 4-5 групп. Итоги подводят старшие группы.

Такая форма организации зачёта даёт всем равные возможности для достижения хороших результатов. « сильные» уже на этапе самостоятельной работе могут показать высокий результат. Далее они продолжают закреплять полученные знания, работая со своими группами. Остальные учащиеся имеют возможность сдать зачёты на « отлично». Обычно к контрольной работе подтягиваются и средние ученики, а « слабые» становятся более уверенными.

В 10 – 11 классах можно проводить зачёты экстерны. Ученик изучает темы самостоятельно. Сдают его обычно те, кто уверенно чувствует себя в знании предмета.

Для проверки знаний также используется контрольный тест анализы. Тест позволяет провести более широкий и более глубокий контроль за усвоением материала на ту или иную тему или по ряду тем. Это особенно важно в тех случаях когда необходимо выявить «потолок» знаний в группе учащихся, определить в них лидеров и отстающих. Как правило тест из 8-12 вопросов даётся на 10 – 15 минут.

Выигрыш во времени позволяет проводить контроль знаний постоянно, почти на каждом уроке, и кроме того даёт возможность повторить те разделы, которые усвоены не очень хорошо.

После этого можно провести « реабилитирующий тест» для тех, кто не справился с первым. Более интенсивная работа при тестировании и её игровой характер достаточно сильно повышают заинтересованность учащихся в хорошем результате.

Все это направлено на то, чтобы на своих уроках активизировать личность ученика, приложить все усилия к тому, чтобы работа была творческой, чтобы ребятам было интересно на уроке, чтобы как можно больше полезного они вынесли с каждого урока, чтобы каждый урок был творческим процессом, процессом содружества ученика и учителя.