Развитие логического мышления учащихся на уроках математики

Человек не может понимать окружающий его мир только логикой мозга, он должен ощутить его логикой сердца, т.е. эмоцией.

Образцов С.В.

Инновации в образовании в настоящее время рассматриваются как новшества, которые открываются и внедряются в педагогическом поиске. Традиционные технологии, сколько бы их не усовершенствовали, не могут в настоящее время стать программой развития ребенка.

Современный учитель не должен быть информатором, а призван помогать ученику овладеть способами познания.

Мне, например, будет обидно, если мой выпускник, выйдя из гимназии, скажет словами Николая Гладкова:

«А школа мало мне дала,
Там обучали только фразам,
А надо изучать дела,
Затем, чтоб развивался разум».

Теперь предмет математики для учителя - не цель научения, а средство овладения познавательной деятельностью, в которой задействованы творческий потенциал личностей и учителя, и ученика.

Говоря об опыте работы в преподавании математики, необходимо говорить и о потенциале мыслительной деятельности учащихся.

Три основных раздела мыслительной деятельности:

1. Мыслительные навыки.
2. Определение (знание, прилежание).
3. Что делает ученик.

Если нам будет известна разносторонняя информация о способностях и деятельности каждого ученика, то можно повысить способность учащихся четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.
Математика имеет огромные возможности для воспитания привычки к ясному мышлению и четкой, логически совершенной речи.

Целенаправленная работа по развитию логического мышления учащихся ведется мною на уроках и в кружковой работе.
При изучении математики учащиеся обучаются умению оперировать понятиями, правильно строить и анализировать суждения (предложения, утверждения, высказывания), проводить умозаключения и доказательства. Учащиеся, совместно с учителем, составляют конспекты, планы изучаемого материала. Эти конспекты помогают учащимся свободно пользоваться теоретическим материалом, сознательно применять математические понятия, подходить творчески к решению математических задач. В своей работе руководствуюсь словами Аристотеля: «Мышление начинается с удивления».

Приведу ряд упражнений, при решении которых учащиеся применяют математические понятия, развивают культуру мышления.

№1. Приведите примеры геометрических понятий, которые выражаются:

а) одним словом, б) двумя словами, в) тремя словами.

Ответ: а) квадрат; б) тупоугольный треугольник; в) средняя линия трапеции.

№2. Перечислите известные вам свойства прямой. Укажите не менее четырех свойств.

Ответ: Прямая не замкнута, бесконечна, делит плоскость, в которой она лежит, на две части, определяется любыми двумя своими точками.

№3. Найдите геометрические свойства, общие для прямой и окружности.

Ответ. Прямая и окружность делят плоскость, в которой они лежат, на две части. Прямая и окружность являются линиями постоянной кривизны.

№4. Укажите свойства:

а) присущие всем треугольникам (основные, или необходимые свойства);
б) только некоторым треугольникам;
в) свойства, не принадлежащие ни одному треугольнику (противоречивые свойства).

Ответ:
а) во всяком треугольнике сумма углов равна 180˚;
б) только некоторые треугольники имеют равные стороны;
в) треугольник не может иметь двух прямых углов.

Так как в школьный курс математики введен раздел «Комбинаторика», необходимо на уроках в 5-8 классах в план урока включать задачи такого типа:

В чем различие следующих предложений:

1. на спектакле присутствовали все учащиеся нашего класса;
2. на спектакле присутствовали учащиеся нашего класса;
3. на спектакле присутствовали только учащиеся нашего класса;
4. на спектакле присутствовали только некоторые учащиеся нашего класса;
5. каждый учащийся нашего класса присутствовал на спектакле?

Ответ:

1. на спектакле могли присутствовать также и учащиеся других классов;
2. на спектакле могли присутствовать не все учащиеся данного класса;
3. учащиеся других классов не присутствовали на спектакле;
4. некоторые учащиеся данного класса не присутствовали на спектакле;
5. пятое и первое предложения равносильны.

Учителю необходимо обращать внимание на то, как отвечает ученик при решении таких задач. Речь ученика должна быть убедительной, краткой, ясной и одновременно изящной, возбуждающей мысль и эмоции.

Рассмотрим предложения, относительно которых имеет смысл говорить, что они являются истинными или ложными.

Проверьте, справедливы ли утверждения:

1. для того чтобы число делилось на 5, необходимо, чтобы оно оканчивалось 0;
2. все равносторонние треугольники являются равнобедренными;
3. некоторые прямоугольные треугольники являются равнобедренными;
4. произведение двух чисел равно нулю, когда, по крайней мере, один из множителей равен нулю.

Ответ.
предложение станет верным, если слово «необходимо» заменить словом «достаточно»;
предложение верно;
предложение верно;
предложение верно.

Выполняя такие задания, учитель без труда определит, понял ли учащийся теоретический материал или предложенную задачу. Ученику необходимо показать в своем ответе не столько запоминание, сколько умение разбираться в структуре рассуждений. Учащийся должен знать, что опираясь на основные понятия, строятся рассуждения, из рассуждений строятся умозаключения, то есть доказательства.

Рассмотрим следующие примеры:

1) Как опровергнуть утверждение: «Если число делится на 5, то оно оканчивается цифрой 5»?

Ответ: Указанием контрпримера. Например, 20, 100 и т. д.

2) Какое значение при доказательстве теорем имеет чертеж?

Ответ: Чертеж имеет лишь вспомогательное значение как «наглядное пособие», иллюстрирующее наши рассуждения.

3) Докажите следующее утверждение от противного: Ни при каком целом n частные: n-6n - 5 15 и 24 одновременно не являются целыми числами.

Решение.

Предположим, что одновременно при некотором nЄ Z
n –6 = Аn–5 = В
15 и 24
где А и В – целые числа, получаем: n = 15А + 6 и n = 24В + 5, то есть
15А+6=24В+5, что неверно ни при целых А и В.

4) В каждом из следующих примеров найдите условие и заключение:

а) аb ≠ 0; аb › 0. Решение аb › 0 → аb ≠ 0.
б) аbс=0; а=b=с=0. Решение а=b=с=0→ аbс=0.
в) аd=bс;а=с а=с
bd(a≠0, b≠0, c≠0, d≠0).

Решение: аd=bсbd

Подобные задания развивают у учащихся логическое мышление.
Для того чтобы развивать творческие способности у учащихся, нужно, прежде всего, научить учиться. Учителю необходимо постоянно приучать учеников мыслить самостоятельно, прививать им твердую привычку надеяться в разрешении возникающих затруднений на собственные силы и разум.

И последнее. 

В своей работе придерживаюсь трех заповедей Пойа Д.:

1. Стараюсь научить своих учеников догадываться.
2. Стараюсь научить своих учеников доказывать.
3. Пользуюсь наводящими указаниями, но не стараюсь навязывать своего мнения насильно.

Именно на уроках математики ученик должен привыкать к краткой,предельно четкой и логически отточенной речи.

Литература.

1. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. М. ,Просвещение,1991.
2. Каплунович И.Я. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения математике. М. , Просвещение 1996 .
3. Атанасян Л.С. Изучение геометрии в 7-9 классах. М. , Просвещение, 2008.