Алгоритм произвольных Пифагоровых последовательностей

Факультатив по Пифагоровым последовательностям.

Часть четвёртая: использование алгоритма и формул, для вычислений квадратов, с произвольной первой переменной, и коэффициентами любой чётности.

Автор: Алексей Владимирович Левченко.

Цель: закрепление – понятий квадратов и суммы, практические навыки вычислений.

На этом занятии, попробуем использовать алгоритм и выведенные формулы, задавая в качестве первой переменной любое натуральное число.

Обоснование прежнее: любое натуральное число, может служить квадратом, и значит – надстройкой для соответствующего квадрата.

Напомним сами формулы:

y = (x² : k - k) : 2; z = (x² : k - k) : 2 + k;

где коэффициенты той же чётности, что у переменной икс.

Поскольку натуральные квадраты в качестве первого слагаемого мы уже проверяли, то следующим шагом, мы вполне можем испытать вообще все подряд натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ...

Для точности формулы, заменим в ней икс в квадрате, на символ N.

y = (N : k - k) : 2; z = (N : k - k) : 2 + k;

[где коэффициенты той же чётности, что N].

И формула суммы, станет такая:

N + y² = z²

где N любое натуральное число, игрек и зет – вычисляемые положительные числа.

N=1; тогда у = (1:1-1):2=0; z = у+1=1; проверка: 1+ 0² = 1² = 1.
N=2; тогда у = (2:2-2):2= -0,5 отрицательные числа не рассматриваем.
N=3; у = (3:1-1):2= 1 z = у+1=2; проверка: 3 + 1² = 2² = 4.
N=4; у = (4:2-2):2= 0 z = у+2=2; проверка: 4 + 0² = 2² = 4.
N=5; у = (5:1-1):2= 2 z = у+1=3; проверка: 5 + 2² = 3² = 9.
N=6; у = (6:2-2):2= 0,5 z = у+2=2,5 ; проверка: 6 + 0,5² = 2,5² = 6,25.
N=7; у = (7:1-1):2= 3 z = у+1=4 ; проверка: 7 + 3² = 4² = 16.
N=8; у = (8:2-2):2= 1 z = у+2=3 ; проверка: 8 + 1² = 3² = 9.

Проверим числа чуть большие, у которых заведомо несколько делителей:

N=44; тогда у = (44:2-2):2= 10 z = у+2=12 ; проверка: 44 + 10² = 12² = 144.

N=44; у = (44:4-4):2= 3,5 z = у+4=7,5 ; проверка: 44 + 3,5² = 7,5² = 56,25.

N=44; тогда у = (44:6-6):2= 0,6(6) z = у+6=6,6(6) ;

проверка: 44 + (0,6(6))² = (6,6(6))²= 44,44.

N=44; тогда у=(44:8-8):2= -2,5 отрицательные числа не рассматриваем.
N=93; у = (93:1-1):2= 46 z = у+1=47 ; проверка: 93 + 46² = 47² = 2209.
N=93; у = (93:3-3):2= 14 z = у+3=17 ; проверка: 93 + 14² = 17² = 289.
N=351; у = (351:1-1):2= 175 z = у+1=176 ; проверка: 351 + 175² = 176² = 30976.
N=351; у = (351:3-3):2= 57 z = у+3=60 ; проверка: 351 + 57² = 60² = 3600.
N=351; у = (351:9-9):2= 15 z = у+9=24 ; проверка: 351 + 15² = 24² = 576.
N=351; у = (351:13-13):2= 7 z = у+13=20 ; проверка: 351 + 7² = 20² = 400.

Поскольку в этой версии алгоритма – необязательно сохранять единичные квадраты в надстройках в целом виде, то есть все основания предполагать, что чётность коэффициента, может и не совпадать с чётностью оперируемого натурального числа N, проверим это.

Итак:

y = (N : k - k) : 2; z = (N : k - k) : 2 + k;

[где коэффициенты на этот раз – любой чётности, независимо от N].

Число «44» с чётными коэффициентами мы уже проверили, теперь посмотрим, какие будут результаты с нечётными коэффициентами:

N=44; тогда у = (44:1-1):2= 21,5 z = у+1=22,5 ;
проверка: 44 + 21,5² = 22,5² = 506,25.

N=44; у = (44:3-3):2= 5,83(3) z = у+3=8, 83(3);
проверка: 44 + (5,83(3))² = (8, 83(3))² = 78,027.

N=44; у = (44:5-5):2= 1,9 z = у+5=6,9 ;
проверка: 44 + 1,9² = 6,9² = 47,61.

Аналогичным образом, могут быть вычислены последовательности с любым количеством слагаемых, при условии, когда первое слагаемое – любое натуральное число.

Пример:
для последовательности N + y² + z² = w², формулы:

1) y = (N : k - k) : 2; z = (N : k - k) : 2 + k;
2) y = (x² : k - k) : 2; z = (x² : k - k) : 2 + k;

коэффициенты любой чётности.

N=351; k=1, тогда по формулам из п.1 >> у = (351:1-1):2= 175; у+1=176 ;

Готовы N, игрек. «176» не рисуем, из него – вычисляем зет, и дабл-ю, по формулам из п.2 =>

176²=30976; z = (30976:1-1):2=15487,5; w = y + 1 = 15488,5

Ответ: 351; 175; 15487,5; 15488,5

N=351; k=2, тогда по формулам из п.1 >> у = (351:2-2):2= 86,75; у+2=88,75;

Готовы N, игрек. «88,75» не рисуем, из него – вычисляем зет, и дабл-ю, по формулам из п.2 =>

88,75²=7525,5625; z = (7867,5625:1-1):2=3937,78125; w = y + 1 = 3938,78125

Ответ: 351; 86,75; 3937,78125; 3938,78125

и так далее, со всеми подряд коэффициентами.

Фактически, можно было вообще ничего из нарисованного выше – не проверять, так как нам известен геометрический алгоритм: первое слагаемое правильно делится на надстройки, и они поэтому, неизбежно и точно, прилегают к специально вычисленному для этих надстроек второму квадрату.
Тогда и получается результат, именно в виде квадрата.

Поскольку для алгоритма надстроек произвольного квадрата не имеет значения – целое положительное число в качестве квадрата надстройщика (или катета), или не целое, то формулы должны работать и в этих случаях.

Чтобы самим не придумывать, возьмём для испытания в качестве первой переменной – некоторые известные на сегодня константы.

Вместо икса в квадрате, обозначим переменную символом 'С' (constanta), в формуле. Формулы примут вид:

y = (С : k - k) : 2; z = (С : k - k) : 2 + k;

Считать будем очень грубо и приблизительно, ибо у констант, обычно весьма длинные, или бесконечные «хвосты», после запятой.

С = π [3,1415..]; тогда у = (π : 1 - 1) : 2 = 1,07075; z = y + 1 = 2.07075

Проверка:
π + 1,07075² = 4,2880055625
2.07075² = 4,2880055625
4,2880055625 = 4,2880055625
Ответ: π + 1,07075² = 2.07075²

С = t (тау, 6,283185.. 2π); k=1, тогда у = (t : 1 - 1) : 2 = 2,6415925; z = y + 1 = 3,6415925

Проверка:
t + 2,6415925² = 13,2611
3,6415925² = 13,2611
13,2611 = 13,2611
Ответ: t + 2,6415925² = 3,6415925²

Тау, коэффициент два:

С = t (тау, 6,283185…, 2π); k=2, тогда у = (t : 2 - 2) : 2 = 0,57075625;
z = y + 2 = 2,57075625

Проверка:
t + 0,57075625² =6,608
2,57075625² = 6,608
6,608 = 6,608

С = е (конст. Непера, основание натурального логарифма: 2,718281728…,);
тогда у = (е : 1 - 1) : 2 = 0,859140864; z = y + 1 = 1,859140864

Проверка:
е + 0,859140864² = 3,45640
1,859140864² = 3,45640
3,45640 = 3,45640
Ответ: е + 0,859140864² = 1,859140864²

С = ф (фи, 1,618033…, золотое сечение);
тогда у = (ф : 1 - 1) : 2 = 0,3090165;
z = y + 1 = 1,3090165;
Ответ: ф + 0,3090165² = 1,3090165²

С = б (пост.Фейгенбаума, 4,669201…); k=1
тогда у = (б : 1 - 1) : 2 = 1,8346005;
z = y + 1 = 2,8346005;

С = б (пост.Фейгенбаума, 4,669201…); k=2
тогда у = (б : 2 - 2) : 2 = 0,16730025;
z = y + 2 = 2,16730025;

С = a (конст. Фейгенбаума, 2,502907);
тогда у = (a : 1 - 1) : 2 = 0,7514535;
z = y + 1 = 2,8346005;

С = В2 (конст. Бруна для простых близнецов, 1,902160);
тогда у = (В2 : 1 - 1) : 2 = 0,45108;
z = y + 1 = 1,45108;

С = К (конст. Висваната, 1,13198824);
тогда у = (К : 1 - 1) : 2 = 0,06599412;
z = y + 1 = 1,06599412;

С = К0 (пост. Хинчина, 2,685452001065);
k=1, тогда у = (К0 : 1 - 1) : 2 = 0,8427260005325;
z = y + 1 = 1,8427260005325;

С = J (конст. Поля– Гаусса, 3,058198..);
k=1, тогда у = (J : 1 - 1) : 2 = 1,029099;
z = y + 1 = 2,029099;

С = µ (конст. Рамануджана – Солднера, 1,451369..);
k=1, тогда у = (µ : 1 - 1) : 2 = 0,2256845;
z = y + 1 = 1,2256845;

С = ЕВ (конст. Эрдёша – Борвейна, 1,606695..);
k=1, тогда у = (ЕВ : 1 - 1) : 2 = 0,3033475;
z = y + 1 = 1,3033475;

С = ç(3) (конст. Алери, 1,202056903)
k=1, тогда у = (ç(3) : 1 - 1) : 2 = 0,1010284515;
z = y + 1 = 1,1010284515;

С = А (конст. Глейшера – Кинкелина, 1,282427129)
k=1, тогда у = (А : 1 - 1) : 2 = 0,1412135645;
z = y + 1 = 1,1412135645;

С = р (Пластическое число, 1,324717957…)
k=1, тогда у = (р : 1 - 1) : 2 = 0,1623589785;
z = y + 1 = 1,1623589785;

С = θ,A (конст. Миллса, 1,306377803…)
k=1, тогда у = (θ : 1 - 1) : 2 = 0,1531889015;
z = y + 1 - 1,1531889015;

Примечание: первое слагаемое, константа – это квадрат катета.
Значит сам катет – это квадратный корень из константы.

Выводы:

1) В числе прочего, мы в крайних вычислениях, получили как размеры квадратов, так и прямоугольных треугольников.

Благодаря тому, что первые переменные были константами, из которых считались следующие катеты и гипотенузы – то всё вычисленное – тоже является новыми константами.
Те, из вас, кто станут математиками, найдут им применение))

2) Во всех математических моделях, где можно представить геометрические и арифметические объекты счёта, или их части – в качестве неких составных квадратов, катетов и гипотенуз, применимы вычисления – посредством алгоритма Пифагоровых последовательностей. То есть: почти везде.