Алгоритм специальной последовательности

1) Существуют последовательности сложения квадратов, которые сами хоть и не являются Пифагоровыми, поскольку одно из слагаемых не квадрат числа, но вычисляются такие суммы – по этому* же алгоритму.

[Причина подчинения алгоритму – та же, геометрическая и арифметическая:
[эти суммы, почти всегда могут участвовать в надстраивании квадратов.

2) Суть в следующем:
имеется сумма квадратов последовательных натуральных чисел.
Каждая такая сумма, начинается с единицы, и вся она – выступает в роли первого (так удобней читать запись) слагаемого. Примеры:
1² + 2² + 3²;
1² + 2² + 3² + 4² + 5²; и т.д.

3) Затем, по алгоритму и формулам для Пифагоровых последовательностей, вычисляется второе слагаемое, и затем вся сумма.

[Отличие от Пифагоровых*, ещё и в том, что из первого слагаемого, не во всех случаях – можно посчитать второе слагаемое и всю сумму].

Выражение, примет вид, образец:
(1² + 2² + 3² + 4² + 5²) + Y² = z²

[Например для 0² + 1², игрек станет равен нулю, зет – единице, то есть формулы сработают и в этом [случае. 0² + 1² + y² = z²; у=0; z=1.
[Ноль – не натуральный, и поэтому рассматривать его не будем.

4) Следующая сумма: (1² + 2²) + y² = z²; ( 1² + 2² = 5);

Поскольку сумма квадратов (такая как пять, и другие*) – сама квадратом не является, но она по-прежнему – надстройка, заменим символ х² на символ S [Superstructure]- «надстройка», [ну или Sum] «сумма»:

y = (x² : k - k) : 2; => y = (S:k - k) : 2; y = (5 : 1 - 1) : 2 = 2; z = (S:k - k) : 2 + k; z = (5 : 1 - 1) : 2 + 1 = 3;
Решение примет вид: (1² + 2²) + 2² = 3²; Далее, скобки в решениях, рисовать не станем.

1² + 2² + 3² + y² = z² 1² + 2² + 3²= 14;
y = (14 : 2 - 2) : 2; y = (7 - 2) : 2; y = 5 : 2 =>

=> нацело не делится, значит – для суммы квадратов 1² + 2² + 3² + y² не существует такого четвёртого натурального квадрата y², который в сумме с предыдущими 1² + 2² + 3², дал бы в результате натуральный квадрат z². Решения нет.

5) 1² + 2² + 3² + 4² + y² = z²
1² + 2² + 3² + 4² = 30;
y = (30 : 2 - 2) : 2; y = (15 - 2) : 2; y = 13 : 2 => нацело не делится...(см. выше)

6) 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + y² = z²
1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55;
y = (55 : 1 - 1) : 2; y = (55 - 1) : 2; y = 27; z = (55 : 1 - 1) : 2 + 1 = 28
1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 27² = 28²
У числа 55, кроме делителя k = 1, есть ещё один: k = 5, поэтому продолжим:

#1² + 2² + 3² + 4² + 5² + y² = z²
#1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55;
#y = (55 : 5 - 5) : 2; y = (11 - 5) : 2; y = 3; z = 3 + 5 = 8
#1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 3² = 8²
. …………………..
. …………………..

8) 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² + y²² = z²
1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² = 506
Решений нет

9) 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² + 12² + y² = z²
1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² + 12² = 650
Решений нет
. …………………..
. …………………..

10) 1² + 2² + 3² +….+19² + y² = z²
1² + 2² + 3² +….+19² = 2470
Решений нет

11) 1² + 2² + 3² +….+19² + 20² + y² = z²
1² + 2² + 3² +….+19² + 20² = 2870
Решений нет
.……………….
.……………….

11 Вот интересный экземпляр последовательности, хорошо известный в истории математики, как задача Эдуарда Люка', о складировании пушечных ядер:

1² + 2² + 3² +….+ 23² + y² = z²
1² + 2² + 3² +….+ 23² = 4324
y = (4324 : 46 - 46) : 2; y = 24; z =70;
1² + 2² + 3² +….+ 23² + 24² = 70²
[В ответе на задачу – ещё ноль в квадрате был вначале, но здесь он уже не нужен].

П.С.
Для вычисления сумм последовательных натуральных квадратов (первого слагаемого):
(1² + 2² + 3² +.....+ n²),
в практических вычислениях, надо конечно пользоваться формулами, например самой распространённой:
∑ [1² + 2² + 3² +.....+ n²] = n (n + 1) (2n + 1) / 6