РАЗРАБОТКИ

Другие модули


Алгоритм специальной последовательности

1) Существуют последовательности сложения квадратов, которые сами хоть и не являются Пифагоровыми, поскольку одно из слагаемых не квадрат числа, но вычисляются такие суммы – по этому* же алгоритму.

[Причина подчинения алгоритму – та же, геометрическая и арифметическая:
[эти суммы, почти всегда могут участвовать в надстраивании квадратов.

2) Суть в следующем:
имеется сумма квадратов последовательных натуральных чисел.
Каждая такая сумма, начинается с единицы, и вся она – выступает в роли первого (так удобней читать запись) слагаемого. Примеры:
12 + 22 + 32;
12 + 22 + 32 + 42 + 52; и т.д.

3) Затем, по алгоритму и формулам для Пифагоровых последовательностей, вычисляется второе слагаемое, и затем вся сумма.

[Отличие от Пифагоровых*, ещё и в том, что из первого слагаемого, не во всех случаях – можно посчитать второе слагаемое и всю сумму].

Выражение, примет вид, образец:
(12 + 22 + 32 + 42 + 52) + Y² = z²

[Например для 0² + 1², игрек станет равен нулю, зет – единице, то есть формулы сработают и в этом [случае. 0² + 1² + y² = z²; у=0; z=1.
[Ноль – не натуральный, и поэтому рассматривать его не будем.

4) Следующая сумма: (12 + 22) + y2 = z2; ( 12 + 22 = 5);

Поскольку сумма квадратов (такая как пять, и другие*) – сама квадратом не является, но она по-прежнему – надстройка, заменим символ х² на символ S [Superstructure]- «надстройка», [ну или Sum] «сумма»:

y = (x2 : k - k) : 2; => y = (S:k - k) : 2; y = (5 : 1 - 1) : 2 = 2; z = (S:k - k) : 2 + k; z = (5 : 1 - 1) : 2 + 1 = 3;
Решение примет вид: (12 + 22) + 22 = 32; Далее, скобки в решениях, рисовать не станем.

12 + 22 + 32 + y2 = z2 12 + 22 + 32= 14;
y = (14 : 2 - 2) : 2; y = (7 - 2) : 2; y = 5 : 2 =>

=> нацело не делится, значит – для суммы квадратов 12 + 22 + 32 + y2 не существует такого четвёртого натурального квадрата y², который в сумме с предыдущими 12 + 22 + 32, дал бы в результате натуральный квадрат z². Решения нет.

5) 12 + 22 + 32 + 42 + y2 = z2
12 + 22 + 32 + 42 = 30;
y = (30 : 2 - 2) : 2; y = (15 - 2) : 2; y = 13 : 2 => нацело не делится...(см. выше)

6) 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + y2 = z2
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55;
y = (55 : 1 - 1) : 2; y = (55 - 1) : 2; y = 27; z = (55 : 1 - 1) : 2 + 1 = 28
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 272 = 282
У числа 55, кроме делителя k = 1, есть ещё один: k = 5, поэтому продолжим:

#12 + 22 + 32 + 42 + 52 + y2 = z2
#12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55;
#y = (55 : 5 - 5) : 2; y = (11 - 5) : 2; y = 3; z = 3 + 5 = 8
#12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 32 = 82
. …………………..
. …………………..

8) 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + y²2 = z2
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 = 506
Решений нет

9) 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122 + y2 = z2
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122 = 650
Решений нет
. …………………..
. …………………..

10) 12 + 22 + 32 +….+192 + y2 = z2
12 + 22 + 32 +….+192 = 2470
Решений нет

11) 12 + 22 + 32 +….+192 + 202 + y2 = z2
12 + 22 + 32 +….+192 + 202 = 2870
Решений нет
.……………….
.……………….

11 Вот интересный экземпляр последовательности, хорошо известный в истории математики, как задача Эдуарда Люка', о складировании пушечных ядер:

12 + 22 + 32 +….+ 232 + y2 = z2
12 + 22 + 32 +….+ 232 = 4324
y = (4324 : 46 - 46) : 2; y = 24; z =70;
12 + 22 + 32 +….+ 232 + 242 = 702
[В ответе на задачу – ещё ноль в квадрате был вначале, но здесь он уже не нужен].

П.С.
Для вычисления сумм последовательных натуральных квадратов (первого слагаемого):
(12 + 22 + 32 +.....+ n2),
в практических вычислениях, надо конечно пользоваться формулами, например самой распространённой:
∑ [12 + 22 + 32 +.....+ n2] = n (n + 1) (2n + 1) / 6

Всего комментариев: 0
Если Вы хотите оставить комментарий к этому материалу, то рекомендуем Вам зарегистрироваться на нашем сайте или войти на портал как зарегистрированный пользователь.
Свидетельство о публикации статьи
В помощь учителю

Уважаемые коллеги! Опубликуйте свою педагогическую статью или сценарий мероприятия на Учительском портале и получите свидетельство о публикации методического материала в международном СМИ.

Для добавления статьи на портал необходимо зарегистрироваться.
Конкурсы

Конкурсы для учителей

Диплом и справка о публикации каждому участнику!

Маркер СМИ

© 2007 - 2024 Сообщество учителей-предметников "Учительский портал"
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.


Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.


Фотографии предоставлены