Элементы теории вероятности для школьников 9-11 класса

Хрипков Александр Сергеевич

Введение

Данная работа посвящена элементам теории вероятности. Я, как ученица 9 класса знаю, что в школьном курсе мало часов обучения, посвященных теории вероятности. Из-за этого многие допускают ошибки при решении задач с вероятностью. Поэтому я решила создать учебное пособие, посвященное решению таких задач.

Цель работы: исследовать методические особенности обучения школьников 9-11 классов элементам теории вероятности.

Задачи работы.

1. Рассмотреть историю возникновения теории вероятности как науки.
2. Рассмотреть основные формулы и определения, связанные с вероятностью.
3. Привести примеры решения задач на нахождения вероятности.

Объект обучения: процесс обучения математике школьников 9-11 классов.

Предмет исследования: процесс обучения школьников 9-11 классов решению задач на нахождение вероятности.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

1.1 История возникновения теории вероятности как науки

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях.

Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Джероламо Кардано, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний.

В XVIII веке важное значение для развития теории вероятностей имели работы Томаса Байеса, сформулировавшего и доказавшего Теорему Байеса.

В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений: Виктор Буняковский, продолжая исследования Михаила Остроградского, в своих работах вывел первые основные формулы; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Карл Гаусс детально исследовал нормальное распределение случайной величины (см. график выше), также называемое «распределением Гаусса».

Во второй половине XIX века значительный вклад внёс ряд европейских и русских ученых: П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова.

Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

1.2 Определение вероятности: классическое и статистическое

Классическое определение:

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Дадим ряд вспомогательных определений.

Определение 1. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Например, при бросании монеты появление «герба» исключает появление «надписи».

Определение 2. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.
В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Определение 3. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Например, появление «герба» и «надписи» при бросании монеты – равновозможные события.

Пример 1. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них – красные, 3 – синие и 1 – белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и
называют вероятностью события (появления цветного шара).
Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.
Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р(А).
В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (А) = 5/6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти.

Определение 4. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Итак, вероятность события А определяется формулой: P(A)=mn, где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно, P(A)=mn=nn=1

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно, P(A)=mn=0n=0

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей, т.е. 0 <Р(А)<1.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m/n < 1, следовательно, 0 < Р(А) < 1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0≤ Р(А) ≤1.

Статистическое определение:

Пусть производится подряд n опытов. В каждом из них может произойти, а может и не произойти событие A.

Пусть m– количество появлений события A.

m называется частотой события A.

Тогда относительной частотой события A называется величина: P(A)=mn

1.3 Геометрический смысл вероятности

Если предположить, что попадание в любую точку области G равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество A будет равна отношению площадей: P(A)=S(A)S(G)

Если A имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в A равна нулю.

Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой: P(A)=L(A)L(G); P(A)=V(A)V(G)

1.4 Связь вероятности и комбинаторики

Комбинаторика фокусируется на подсчете количества всевозможных комбинаций элементов, в то время как теория вероятности изучает закономерности массовых случайных явлений (событий). Формулы комбинаторики используют и для подсчета числа равновозможных событий.

1.5 Основные элементы комбинаторики

Определение 5. Сочетание - это неупорядоченный набор элементов, взятых из множества. В сочетании используется только выбор, расположение не используется.

Операция сочетания помогает выяснить, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества n. Cnk=n!k!(n-k)!

Определение 6. Размещение — это способ выбрать и упорядочить элементы из множества. В отличие от операции сочетания, при размещении важен порядок составляющих множества.

Вопрос размещения: сколько упорядоченных наборов можно сделать из k элементов, выбранных из n? Формула размещения: Ank= n!n-k!
Определение 7. Перестановка — это способ последовательно расположить составляющие множества. Pₙ = n!

ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ 9-11 КЛАССА.

2.1 Задачи на нахождение вероятности, встречающиеся на ОГЭ по математике.

Пример 2. Бабушка испекла одинаковые на вид пирожки: 6 с мясом, 5 с капустой и 9 с яблоками. Внучка Даша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с мясом.

Решение.
Событие A – достался пирожок с мясом. Найдем m и n.
m – число исходов, благоприятствующих событию A.
n – число всех исходов, возможных в данном эксперименте.
m – количество пирожков с мясом, т.е. m=6,
n – количество всех испеченных пирожков, т.е. n=6+5+9=20
Найдем вероятность. P(A)=m/n=6/20=0,3 P(A)=mn=620=0,3
Ответ: 0,3

Пример 3. В коробке хранятся жетоны с номерами от 5 до 64 включительно. Какова вероятность того, что на извлеченном наугад из коробки жетоне написано двузначное число?

Решение.
Событие A – извлеченный наугад жетон содержит двузначное число. Найдем m и n.
m – число жетонов с двузначным номером,
n – число всех жетонов.
Сначала найдем n. Чисел 1,2,3,4 не хватает, т.е. 4 числа. Тогда, n=64-4=60
Найдем m. Сколько жетонов с двузначными номерами? Всего 60, номера 5, 6, 7, 8, 9 (их пять штук) – однозначные. Тогда, m=60-5=55
P(A)=m/n=55/60=0,916 P(A)=mn=5560=0,916
Ответ: 0,916

Пример 4. В лыжных гонках участвуют 10 спортсменов из России, 9 спортсменов из Швеции и 6 спортсменов из Норвегии. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним.

Решение.
Событие A – спортсмен из Швеции будет стартовать последним.
m=9-число спортсменов из Швеции,
n=10+9+6=25-число всех спортсменов.
Т.к. старт определяется жребием, то не важно, под каким стартовым номером будет выступать тот или иной лыжник, под вторым или последним.
Найдем вероятность. P(A)=mn=925=0,36
Ответ: 0,36

Пример 5. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится двадцать сумок с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Обратите внимание на условие задачи. Здесь не говорится, что из 100 сумок двадцать – с дефектами. В тексте чётко обозначено, что качественных – 100 штук, а некачественных – 20 штук.
Решение.
Событие A – купленная сумка окажется качественной. Найдем m и n.
m=100
n=100+20=120
Найдем вероятность. P(A)=mn=100120=0,833
Ответ: 0,833
Пример 6. Оля наугад выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 41.
Решение.
Событие A – выбранное число делится на 41. Найдем m и n.
m – количество трехзначных чисел, кратных 41,
n – число всех трёхзначных чисел.
Последнее трёхзначное число 999. Найдем все числа, кратные 41 среди чисел от 1 до 999. Разделим 999 на 41. Получим 999/41=24,3658537, т.е. ровно 24 чисел, кратных 41. Но среди этого количества окажется двузначное число 41, которое не учитывается в задаче, значит, m=23.
Теперь определим n. Чисел от 1 до 999 ровно 999, исключим из них однозначные и двузначные числа от 1 до 99. Таким образом, n=999-99=900
Найдем вероятность. P(A)=mn=23900=0,025
Ответ: 0,025
2.2 Задачи на нахождение вероятности, встречающиеся на ЕГЭ по математике
Пример 7. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя четными цифрами?
Решение.
Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется четное число равна 0,5.
Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа равна 0,5 · 0,5 = 0,25.
Ответ: 0,25.
Пример 8.
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,7 ℃, равна 0,79. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,7 ℃ или выше.
Решение.
Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 – 0,79 = 0,21.
Ответ: 0,21.

Пример 9.
Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся O. Верно решит больше 12 задач, равна 0,59. Вероятность того, что O. Верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Найдите вероятность того, что O. Верно решит ровно 12 задач.
Решение.
Рассмотрим события А = «учащийся решит 12 задач» и В = «учащийся решит больше 12 задач». Их сумма – событие А + В = «учащийся решит больше 11 задач». События А и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,67 = Р(А) + 0,59, откуда Р(А) = 0,67 – 0,59 + 0,08.
Ответ: 0,08.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги работы, посвященной элементам теории вероятности в школьном курсе математики для 9-11 классов, можно констатировать высокую актуальность данной темы и отметить достижение поставленных целей.

В ходе работы было разработано учебное пособие для успешного освоения школьниками основ теории вероятности.

Данная работа демонстрирует разнообразие методических приёмов.

Изучение элементов теории вероятности в старших классах не только расширяет математический кругозор учащихся, но и способствует развитию логического мышления, формированию умения анализировать и принимать решения в условиях неопределенности.

Это пособие поможет сделать обучение теории вероятности и подготовку к экзаменам более эффективными и понятными для школьников, совершенствовать процесс обучения теории вероятности в старших классах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

• Вентцель Е.С. Теория вероятностей/ Е.С.Вентцель. М.: Наука, 1984. 576с.
• Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика/ В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 2004. 479с.
• oge.sdamgia: статистика, вероятности https://oge.sdamgia.ru/?redir
• math-ege: начало теории вероятности, вероятности сложных событий https://math-ege.sdamgia.ru