Нужно ли знакомить учащихся с условием задания геометрических фигур?

Как показывает опыт необходимо больше внимания уделяться вопросу воспитания у учащихся критического отношения к содержанию условия задачи.
Традиционно лишь при решении задач на «построение» тре¬буется проводить исследование. А что касается задач на доказательство или вычис¬ление, то учащиеся часто решают их, не осознавая внутренней структуры, связей между заданными условиями.
Нередко прихо¬дится сталкиваться с таким фактом. Решая задачу «Стороны параллелограмма равны 7,2 см и 4,8 см. Высота, проведенная, к боль¬шей стороне, равна 6,4 см. Найдите вторую высоту параллелограмма», ученик, не задумы¬ваясь, пишет h = (6,4*7,2): 4,8. Казалось бы, все правильно — он усвоил соответствующий материал, задача решена. Но стоило бы перед решением задачи сопоставить данные ее усло¬вия, попытаться построить по этим данным требуемую фигуру — и ученик бы убедился, что задача решения не имеет, так как параллело¬грамма, отвечающего условию задачи, не су¬ществует (сторона меньше высоты, проведен¬ной к другой стороне параллелограмма).
Для предупреждения такого формального подхода к решению задач необходимо стре¬миться к тому, чтобы учащиеся по мере изучения
курса все больше понимали, что учет ус¬ловий, задающих геометрическую фигуру, да¬ет возможность предсказать, имеет ли задача решение или нет, а если имеет, то будет ли число решений конечным.
Формирование у учащихся привычки рас¬сматривать условие задачи как объект изуче¬ния и исследования оказывает значительное влияние на общую эффективность обучения решению и самостоятельному составлению за¬дач. Такой вид учебной деятельности раскры¬вает большие возможности для развития логи¬ческого мышления учащихся, их геометриче¬ской интуиции.



Для достижения указан¬ных целей можно использовать следующий подход: не решая предложенную задачу, сначала построить фигуру по условию (на началь¬ных этапах — с помощью инструментов, впо¬следствии— от руки). Такой подход позволяет учитывать соотноше¬ния между данными задачи и более глубоко осмыслить условия, задающие геометриче¬скую фигуру.
В учебных пособиях, сборниках задач, ди¬дактических материалах задачи подобраны так, что фигуры, о которых идет речь в усло¬вии, всегда существуют. Поэтому их решение без предварительного исследования фигур, от¬вечающих требованиям условия, не приводит к недоразумениям.
С условиями, задающими геометрическую фигуру, следует знакомить учащихся посте¬пенно в процессе изучения программного мате¬риала.
Например, уже в 7 классе при изучении геомет¬рических построений целесообразно установить связь между условиями, задающи¬ми треугольники, с признаками равенства тре¬угольников.
Чтобы воспитать у учащихся чувство по¬требности критического анализа условий за¬дач, можно начать работу с рассмотрения за¬дач с противоречивыми условиями, требования которых высказаны не в форме «найдите» и «определите», а в форме «существуют ли?».
Задача 1.
Существует ли треугольник со сторонами 6 см, 3 см и 2 см?
Учащиеся проводят исследо¬вание и дают ответ на вопрос задачи: иско¬мого треугольника не существует.
Задача 2.
Существует ли треугольник со сторонами 3 см и 4 см и медианой 1 см, про
веденной к большей из данных сторон?


Задача 3.
Существует ли треугольник со сторонами 3 см и 4 см и высотой 5 см,
прове¬денной к третьей стороне?
Задача 4.
Существует ли параллелограмм, две диагонали и сторона которого равны соот¬ветственно 8 см, 10 см и 10 см?
Задачи, подобные приведенным, можно со¬ставить, если переформулировать задачи из учебника А. В. Погорелова.
После ознакомления учащихся с достаточ¬ным количеством задач с противоречивыми ус¬ловиями на исследование можно перейти к задачам на вычисление и построение. Поучительными являются задачи, в условия которых включены «лишние данные».
Задача 5.
Около окружности описана равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 4 см, а угол равен 60°. Найдите радиус окружности.
Учащиеся проводят исследо¬вание и приходят к выводу, что в данном слу¬чае вписать окружность в трапецию нельзя (рис. 1). Следовательно, условия задачи про¬тиворечивы и задача решения не имеет.
Учащимся предлагается выяснить причины противоречия условий задачи. Установив про¬тиворечие, они убеждаются, что в условии задачи содержатся лишние данные, и составляют текст задачи пра¬вильно. Делается это формально: исключают, чаще все¬го, по одному из условий, задающих фигуру. Таким образом составляются новые задачи.
5.1. Около окружности описана равнобокая трапеция, нижнее основание которой равно 8 см. а угол 60°. Найдите радиус окружности.
5.2. Около окружности описана равнобокая трапеция, верхнее основание которой равно 4 см, а угол, 60°. Найдите радиус окружности.
5 3. Около окружности описана равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 4 см. Найдите радиус окружности.


Далее учащиеся проводят исследование, что¬бы выяснить, верно ли составлены задачи. С этой целью они выполняют построения геометрических фигур, удовлетворяющих услови¬ям задач, и приходят к выводу, что задачи имеют единственное решение, так как можно построить единственную фигуру (с точностью до положения).
Чтобы ученики осознанно подходили к пони¬манию содержания условия задачи и опреде¬лению числа ее решений, полезным является рассмотрение задач с недостаю¬щими данными.
Задача 6.
Постройте треугольник по двум сторонам 3,1 см и 1,8 см и углу 31°, не лежа¬щему между ними.
Можно предложить задание: выяснить, сколь¬ко решений имеет задача.
Оказывается, что можно построить три различ¬ных треугольника. Задача является поучи¬тельной, предостерегающей от формального подхода к решению.
Задача 7.
В окружность радиуса 2 см вписан равнобедренный треугольник ABC. Ра¬диус ОА образует с основанием АВ треуголь¬ника ABC угол в 30°. Найдите площадь тре¬угольника ABC.
Проводится исследование ус¬ловия задачи.
Зада¬ча имеет два решения (рис.2).
Таким образом, рассмотренные задачи по¬казывают, что число решений задачи можно определить конструктивно, не решая ее.
При изучении темы «Подобие фигур» жела¬тельно ознакомить учащихся с понятием «фор¬ма» фигуры. В явном виде определение формы не дается, однако оно становится ясным из того, что любые две подобные фигуры имеют одинаковую форму, а формы неподобных фи¬гур различны. Форму фигуры будем считать известной, если по определяющим ее услови¬ям можно построить фигуру, подобную дан¬ной. Багринцева Л.В.
Так, отношение двух сторон треугольника не полностью характеризует его форму, добав¬ление же, например, угла между ними делает форму треугольника известной.
Форма прямоугольного равнобедренного, равностороннего треугольников, квадрата всег¬да известна; форма параллелограмма опреде¬ляется двумя элементами (например, углом и отношением смежных сторон) и т.д.
При изучении признаков подобия треуголь¬ников следует обратить внимание на связь задания формы треугольника с призна¬ками подобия.
В определениях геометрических фигур указывается перечень усло¬вий, характеризующих данную фигуру. Изуче¬ние геометрических понятий можно начать с по¬строения соответствующей фигуры; построени¬ем проверить, однозначно ли задана фигура (с точностью до формы). Например, в опреде¬лениях квадрата, окружности и т. д. фигуры определяются однозначно (с точностью до формы); в определениях треугольника, парал¬лелограмма и т. д. фигуры определяются не¬однозначно. Такое усиление внимания к опре¬делениям будет способствовать повышению ма¬тематической культуры учащихся.
Практика под¬тверждает эффектив¬ность описанного приема обучения учащихся, который обладает большой общностью и мо¬жет применяться во многих случаях.